实数及性质

实数包括无理数和有理数，无理数是无限不循环小数，有理数可以分为整数和分数，我们有如下基本事实：

在这个基本事实下，我们会得到：$0.99999\cdots=1$，这个结论在数学中是基本事实。

实际上有理数可以表示为：$$\frac{p}{q}~(p,q为正数,q\ne 0)$$在上述基本事实前提下我们还会得到：

如 $\dfrac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$，

一般，若 $x=\dfrac{m}{n}$, 则 $x=a_0 . a_1 a_2 \cdots a_k \dot{a}_{k+1} \cdots \dot{a}_{k+p}$ ，其中 $p<n$.

反之，若 $x=a_0 \cdot a_1 a_2 \cdots a_k \dot{a}{k+1} \cdots \dot{a}_{k+p}$，则 $x=a_0+\sum\limits_{i=1}^k \dfrac{a_i}{10^i}+\dfrac{1}{10^p-1} \sum\limits_{j=1}^p \dfrac{a_{k+j}}{10^{k+j-p}} \in \mathbb{Q}$.

因此，任何一个实数都可以表示成无限小数。

若实数都用无限小数表示, 则表达式是唯一的.
即：若$ x =a_0 \cdot a_1 a_2 \cdots a_n \cdots, y =b_0 \cdot b_1 b_2 \cdots b_n \cdots$，则 $$x=y \Leftrightarrow a_n=b_n, n=0,1,2, \cdots$$