函数难点之函数的值域

在函数的定义中提到：$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域 (domain)； 与 $x$ 的值相对应的 $y$ 值叫做函数值， 函数值的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$ 叫做函数的值域（range）.

由此可见，要想求函数的值域，得结合$x$可以取的值，即定义域，在人教A版必修第一册中提到：

在上面的论述中，可以看出值域其实就是函数值$y$（或者是$f(x)$）可以取到的每一个值组成的集合，由于函数值是定义域中的$x$所对应的数，因此值域和定义域密切相关.

一般来说函数的值域可以通过两个方面来求解：

一是图象法，如果能够画出一个函数的大致图象，那么，我们只需知道在定义域范围内的图象上的点的纵坐标的取值范围即可.（纵坐标要看上下）

【例题】求函数$y=x^2-2x+3$，$x\in(0,3]$的值域，我们可以画出它的图象如下：

根据图象，我们只需找到$y=x^2-2x+3$在$x\in(0,3]$上的图象上的点的纵坐标即可，显然此函数的值域为$\{y|2\leqslant y\leqslant 6\}.$

【例题】求$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$，$(x>1且x\ne3)$，求$f(x)$的值域.

对于这个函数，我们可以进行换元或者变形，再根据图象写出$f(x)$的值域.

换元：令$t=x-3$，$t>-2$，且$t\ne 0$，$x=t+3$，

则原函数可化为$y=\dfrac{2(t+3)+1}{t}=\dfrac{7}{t}+2$，

画出$y=\dfrac{7}{t}+2$的图象如下：

通过图象可直接得出$f(x)$的值域为$\left(-\infty,-\dfrac{3}{2}\right)\cup\left(2,+\infty\right).$

【例题】求函数$y=\dfrac{1}{x^2-2x-3}$的值域.

针对此题，可先令$t=x^2-2x-3$，根据图象求出$t$的范围，再根据$t$的范围求$\dfrac{1}{t}$的范围，如下图：

根据两个函数的图象可以直接得出此函数的值域为$\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right)\cup\left(0,+\infty\right).$

二是代数法，通过函数的定义中和$x$对应的代数式，结合函数的定义域，通过一些特殊的变形（方法）可以得出函数的值域，因此针对不同的函数的解析式，有不同的方法.

【配方法】适用于形如$y=a\left[ f\left( x \right) \right]^{2}+bf\left( x \right)+c(a\ne 0)$.

第一步，将二次函数配方成$y=a\left( x-b \right)^{2}+c$；

第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域或最值，特别注意自变量的范围.

【例题】已知的$f(x)=x(x+1)(x^{2}+ax+b)$图象关于直线$x=1$对称，则$f\left( x \right)$的值域为（    ）

$(A)$ $\left[ -4,+\infty  \right]$

$(B)$ $\left[ -\dfrac{9}{4},+\infty  \right)$ 

$(C)$ $\left[ -\dfrac{9}{4},4 \right]$

$(D)$ $\left[ 0,4 \right]$

【分离常数法】适用于形如$f\left( x \right)=\dfrac{ax+b}{cx+d},f\left( x \right)=\dfrac{a{{x}^{2}}+bx+c}{m{{x}^{2}}+nx+p}$的分式函数.

第一步，对函数$f\left( x \right)$变形成$f\left( x \right)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{e}{cx+d}$形式；

第二步，求出函数$\dfrac{e}{cx+d}$在定义域范围内的值城或最值.

【例题】求函数$f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+3x+2}$的值域．

【换元法】

第一步，观察函数解析式的形式,函数变量较多且相互关联；

第二步，令新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域或最值即原函数的值域或最值.

注意：求解过程中要注意新元的取值范围的限制.

例如，在【配方法】中的例题中，就是先采用了换元法.

【例题】已知函数$y=2x-3-\sqrt{a-4x}$的值域为$\left( -\infty ,\dfrac{7}{2} \right]$，则实数$a$的值为__________．

【单调性法】

第一步，求出函数的单调性；

第二步，利用函数的单调性求出函数的值域或最值.

例如，求函数$f\left( x \right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{{{x}^{2}}-x-12}$的值域，

注意到$f(x)$的定义域为$\left[4,+\infty\right)$，

而当$x\geqslant 4$时，$y=\sqrt{x-3}$与$y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-12}$都单调递增，

所以$f\left( x \right)$在$\left[ 4,+\infty  \right)$上单调递增，

当$x=4$时，$f\left( x \right)$取得最小值$1$．

故答案为：$\left[1,+\infty\right).$

【例题】已知函数$f\left( x \right)=x+1-\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$，若对于$\forall {{y}_{i}}\in \left\{ y\mid y=f\left( x \right),x\geqslant 1 \right\}$ $\left( i=1,2,\cdots ,n \right)$，不等式${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+\cdots +{{y}_{n-1}}\geqslant 2022{{y}_{n}}$恒成立，则正整数$n$的最小值为_______________.

【例题】设$f(x)=-\sqrt{x+3}+t$，若存在实数$m,n(m<n)$，使得$f(x)$的定义域和值域都是$[m,n]$，则实数$t$的取值范围为_________.

练习

$(1)$ 函数$y=\dfrac{2-{x}^{2}}{2+{x}^{2}}$的值域是$(\qquad)$

$(A)$ $(-1$，$1]$

$(B)$ $(-1,1)$ 

$(C)$ $[-1,1]$          

$(D)$ $(-2,2)$

$(2)$ 已知函数$f\left( x \right)=\begin{cases}   x+\dfrac{1}{x},x\in \left[ -2,-1 \right)  \\   -2,x\in \left[ -1,\dfrac{1}{2} \right)  \\   x-\dfrac{1}{x},x\in \left[ \dfrac{1}{2},2 \right]  \\ \end{cases}$，$g\left( x \right)=ax-2$，$x\in \left[ -2,2 \right]$，若对于任意${{x}_{1}}\in \left[ -2,2 \right]$，总存在${{x}_{0}}\in \left[ -2,2 \right]$，使$g\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{1}} \right)$成立，则实数$a$的取值范围是$(\qquad)$

$(A)$ $\left( -\infty ,-\dfrac{7}{4} \right]$             

$(B)$ $\left[\dfrac{7}{4},+\infty\right)$

$(C)$ $\left[ -\dfrac{7}{4},\dfrac{7}{4} \right]$      

$(D)$ $\left( -\infty ,-\dfrac{7}{4} \right]\cup \left[ \dfrac{7}{4},+\infty  \right)$

$(3)$ 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设$x\in \mathbb{R}$，用$\left[ x \right]$表示不超过$x$的最大整数，则$y=\left[ x \right]$称为高斯函数.例如：$\left[ -5,1 \right]=-6$，$\left[ \pi  \right]=3$.已知函数$f\left( x \right)=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}$，则函数$y=\left[ f\left( x \right) \right]$的值域为$(\qquad)$

$(A)$ $\left\{ -1 \right\}$ 

$(B)$ $\left\{ -1,0 \right\}$ 

$(C)$ $\left\{ 1 \right\}$

$(D)$ $\left\{ 0,1 \right\}$

$(4)$ 已知函数$f\left( x \right)$的值域为$\left[ -\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{8} \right]$，则函数$g\left( x \right)=f\left( x \right)+\sqrt{1-2f\left( x \right)}$的值域为$(\qquad)$

$(A)$ $\left[ \dfrac{1}{2},\dfrac{7}{8} \right]$

$(B)$ $\left[ \dfrac{1}{2},1 \right]$ 

$(C)$ $\left[ \dfrac{3}{4},1 \right]$  

$(D)$ $\left( 0,\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[ \dfrac{7}{8},+\infty  \right)$

$(5)$ 函数$f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2x-{{x}^{2}}}+\sqrt{x}+\sqrt{2-x}$的最大值为$(\qquad)$

$(A)$ $\sqrt{2}$ 

$(B)$ $\dfrac{3}{2}$

$(C)$ $\dfrac{5}{2}$ 

$(D)$ $2$

$(6)$ 设函数$f(x)=\dfrac{2x}{x-2}$在区间$[3,4]$上的最大值和最小值分别为$M$，$m$，则$M+m=$$(\qquad)$

$(A)$ $4$

$(B)$ $6$

$(C)$ $10$

$(D)$ $24$

$(7)$ （多选）若函数$y=\sqrt{a{{x}^{2}}+4x+1}$的值域为$\left[ 0,+\infty  \right)$，则$a$的可能取值为$(\qquad)$

$(A)$ $-6$

$(B)$ $0$

$(C)$ $2$

$(D)$ $4$

$(8)$ （多选）已知函数$f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{\left| x \right|+1}$，则$(\qquad)$

$(A)$ 函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$

$(B)$ 函数$f(x)$的增区间为$(-\infty ,0]$

$(C)$ 函数$f(x)$的值域为$(-\infty ,1]$

$(D)$ 关于$a$的不等式$f(a-1)<f(2a+1)$的解集为$\left( -2,1 \right)$

$(9)$ 函数$y=x-\dfrac{1}{x}$在$\left[ 1,2 \right]$上的值域为_________.

$(10)$ 函数$y=-x+2\sqrt{1-x}$的值域是_________.

$(11)$ 已知$f\left( x \right)=\begin{cases}   -x+1,\left( x\leqslant 1 \right)  \\   2x-1,\left( x>1 \right)  \\ \end{cases}$，则函数$F\left( x \right)=f\left( f\left( x \right) \right)-2f\left( x \right)$的值域为_________.