平面向量的运算 ——向量的数乘运算

1．向量数乘的定义

一般地，我们规定实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 $\lambda \boldsymbol{a}$ ，它的长度与方向规定如下：

（1）$|\lambda \boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|$ ；

（2）当 $\lambda>0$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同；当 $\lambda<0$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反；当 $\lambda=0$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ ，向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向是任意的．

2．向量数乘的几何意义

如图，在向量数乘中，$|\lambda|$ 可视为将向量 $\boldsymbol{a}$ 的长度伸长 $(|\lambda| \geqslant 1)$ 或缩短 $(|\lambda|<1)$ 的倍数．

$\lambda$ 的符号表示是否改变向量的方向，当 $\lambda>0$ 时，向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同；

当 $\lambda<0$ 时，向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反；

当 $\lambda=0$ 时，向量 $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ ，此时向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向是任意的．

3．向量数乘的运算律

设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为向量，$\lambda, \mu$ 为实数，那么

（1）$\lambda(\mu \boldsymbol{a})=(\lambda \mu) \boldsymbol{a}$ ；

（2）$(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}$ ；

（3）$\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ ．

向量的加，减，数乘运算统称为向量的线性运算．

对于任意向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，以及任意实数 $\lambda, \mu_1, \mu_2$ ，恒有 $\lambda\left(\mu_1 \boldsymbol{a} \pm \mu_2 \boldsymbol{b}\right)=\lambda \mu_1 \boldsymbol{a} \pm \lambda \mu_2 \boldsymbol{b}$．

4．向量共线定理

若向量 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0})$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线，则有且仅有唯一一个实数 $\lambda$ ，使 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$ ．

当向量 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0})$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向时，$\lambda=\dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}$ ；

当向量 $a(a \neq \mathbf{0})$ 与 $\boldsymbol{b}$ 反向时，$\lambda=-\dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}$ ．

引申 $1:$ 当 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时，若 $\boldsymbol{b}=\mathbf{0}$ ，则 $\lambda$ 可取任意实数；若 $\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$ ，则 $\lambda$ 不存在．

引申 2 ：若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线且有 $\lambda \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{b}$ ，则 $\lambda=\mu$ $=0$ ．

5．例题

【例1】 已知 $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ ，则在以下各命题中，正确命题的序号为________________．

$(1)$ 当 $\lambda<0$，$ \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时， $\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反；

$(2)$ 当 $\lambda<\mu$，$\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时，$|\lambda \boldsymbol{a}|<|\mu \boldsymbol{a}|$ ；

$(3)$ 当 $\lambda \mu>0$，$ \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\mu \boldsymbol{a}$ 的方向相同；

$(4)$ 当 $0<\lambda<\mu$，$ \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}<\mu \boldsymbol{a}$ ；

$(5)$ 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，则 $\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\mu \boldsymbol{b}$ 也不共线；

$(6)$ 与 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0})$ 平行的单位向量是 $\pm \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ ．

【例题2】化简：$\dfrac{2}{3}\left[(4 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})+\dfrac{1}{3} \boldsymbol{b}-\dfrac{1}{4}(6 \boldsymbol{a}-7 \boldsymbol{b})\right]=$______________ ．

【练习】若 $3 \boldsymbol{m}+2 \boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{m}-3 \boldsymbol{n}=\boldsymbol{b}$ ，其中 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 是已知向量，求 $\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$ ．

【例题3】 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$B D=2 D C$ ．若 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}$， $\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$，则 $\overrightarrow{A D}=(\quad)$

$(A)$ $\dfrac{2}{3} \boldsymbol{a}+\dfrac{1}{3} \boldsymbol{b}$

$(B)$ $\dfrac{2}{3} \boldsymbol{a}-\dfrac{1}{3} \boldsymbol{b}$

$(C)$ $\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}+\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b}$

$(D)$ $\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}-\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b}$

【练习】 如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{D C}$，$E$ 是 $B D$ 的三等分点．设 $\overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ ，则 $x=$___________ ，$y=$___________．

解析

解法一：代数回路法

$\begin{aligned}\overrightarrow{A E}& =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}\\ & =\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B D}\\ & =\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B})\\ & =\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A D} \\ & =\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \overrightarrow{A C}\\ &= \frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C} .\end{aligned}$

故 $x=\dfrac{2}{3}$，$ y=\dfrac{1}{4}$ ．

解法二：几何分解法

如图 ，过点 $E$ 作 $A C$，$A B$ 的平行线交 $A B$，$A C$ 于点 $M$，$N$ ．

由相似知$$\overrightarrow{A M} =\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}, $$ $$\overrightarrow{A N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C} $$

故$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N} =\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{A C}$．

【例题4】已知 $A, B, C$ 是三个不同的点， $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，$ \overrightarrow{O B}=2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$，$ \overrightarrow{O C}=3 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}$ ．

$(1)$ 求证：$A$，$ B$，$ C$三点共线；

$(2)$ 已知 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 不共线，若 $\left(k \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\right) \parallel\left(\boldsymbol{e}_1+k \boldsymbol{e}_2\right)$ ，求 $k$ 的值．

$(3)$ 不经过原点 $O$ 的直线 $l$ 上有三点 $A$，$B$，$C$ ，求证：存在实数 $x$，$y$ ，且 $x+y=1$ ，使得 $\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$ ，并断其逆命题是否成立．

【练习】在 $\triangle A B C$ 中，点 $P$ 满足 $B P=2 P C$ ，过点 $P$的直线与 $A B$，$A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ ， $N$ ，若 $\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A M}$，$\overrightarrow{A C}=\mu \overrightarrow{A N}(\lambda>0$，$ \mu>0)$ ，求 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}$ 的最小值．

解析

【解】连接 $A P$ ，如图．

$\because \triangle A B C$中，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=2 \overrightarrow{P C}$ ，

$\therefore \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\right)=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}$．

又 $\because \overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A M}$，$\overrightarrow{A C}=\mu \overrightarrow{A N}(\lambda>0, \mu>0)$，

$\therefore \overrightarrow{A P}=\dfrac{2 \mu}{3} \overrightarrow{A N}+\dfrac{\lambda}{3} \overrightarrow{A M}$．

又 $\because M$， $P$， $N$ 三点共线，

$\therefore \dfrac{2 \mu}{3}+\dfrac{\lambda}{3}=1$，$( \lambda>0$，$ \mu>0)$，

$\begin{aligned}\therefore \dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}&=\left(\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}\right)\cdot\left(\dfrac{2 \mu}{3}+\dfrac{\lambda}{3}\right)\\&=\dfrac{2 \mu}{3 \lambda}+\dfrac{\lambda}{3 \mu}+1 \\&\geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2 \mu}{3 \lambda} \cdot\dfrac{\lambda}{3 \mu}}+1\\&=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}+1\text{，}\end{aligned}$

当且仅当 $\dfrac{2 \mu}{3 \lambda}=\dfrac{\lambda}{3 \mu}$， 即$\begin{cases}\mu=\dfrac{3(2-\sqrt{2})}{2}\\[10pt] \lambda=3(\sqrt{2}-1) \end{cases}$ 时取 “$=$”，

则 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu} $的最小值为 $\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}+1$ ．

【例题5】已知 $O$ 是平面内一定点，$A, B, C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$满足 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\dfrac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)(\lambda \in[0$ ， $+\infty)$ ），则点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle A B C$ 的

$(A)$ 外心

$(B)$ 内心

$(C)$ 重心

$(D)$ 垂心

【练习】已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内的一定点，$P$ 是平面 $A B C$ 内一动点．若 $\overrightarrow{O P}=$ $\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)$，$ \lambda \in(0,+\infty)$ ，则点 $P$ 的轨迹一定经过 $\triangle A B C$ 的

$(A)$ 外心

$(B)$ 内心

$(C)$ 重心

$(D)$ 垂心

【例题6】已知 $P$ 是 $\triangle A B C$ 内一点，满足 $2 \overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}+$ $4 \overrightarrow{P C}=\mathbf{0}$ ，求 $S_{\triangle P B C}: S_{\triangle P C A}: S_{\triangle P A B}$ ．

解析

如图，分别延长 $P A, P B, P C$ 至点 $D, E, F$ ，使 $P D=2 P A, P E=3 P B, P F=4 P C$ ，则 $\overrightarrow{P D}+\overrightarrow{P E}+\overrightarrow{P F}=\mathbf{0}$ ，

即 $P$ 为 $\triangle D E F$ 的重心，从而 $S_{\triangle P D E}=S_{\triangle P E F}=S_{\triangle P F D}$ ．

另一方面，$S_{\triangle P A B}=\dfrac{1}{2 \times 3} S_{\triangle P D E}, S_{\triangle P B C}=\dfrac{1}{3 \times 4} S_{\triangle P E F}$ ， $S_{\triangle P A C}=\dfrac{1}{2 \times 4} S_{\triangle P D F}$ ，
故 $S_{\triangle P B C}: S_{\triangle P C A}: S_{\triangle P A B}=2: 3: 4$ ．

一般地，设点 $O$ 在 $\triangle A B C$ 内部，且有 $p \overrightarrow{O A}+q \overrightarrow{O B}$ $+r \overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$，$\left(p\text{，} q\text{，} r \in \mathbb{R}_{+}\right)$，则 $\triangle A B C$ 的面积与 $\triangle A O B$，$\triangle B O C$，$ \triangle A O C$ 的面积的比分别为 $\dfrac{p+q+r}{r}$，$ \dfrac{p+q+r}{p}$，$ \dfrac{p+q+r}{q}$．

可以参考以下文章：

平面向量及其应用 | 一轮复习

奔驰定理与三角形的四心

Byflyview 2024年12月10日2025年3月9日

平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的$\text{logo}$非常相似，该结论如下：如图，已知$O$是$\triangle ABC$内部一点，将$\triangle BOC$、$\triangle AOC…