平面向量的运算 ——向量的减法运算

1．相反向量

与向量 $\boldsymbol{a}$ 长度相等，方向相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，记作 $-\boldsymbol{a}$ ．

2．向量减法的定义

向量 $\boldsymbol{a}$ 加上 $\boldsymbol{b}$ 的相反向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差，即 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$ ．求两个向量差的运算叫做向量的减法．

向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算．

3．向量减法的几何意义

作法一：在平面内任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{B A}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ ，如下图所示．即 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 可以表示为从向量 $\boldsymbol{b}$ 的终点指向向量 $\boldsymbol{a}$ 的终点的向量．简记为“共起点，连终点，指被减”．

作法二（相反向量法）：如下图，在平面内任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}$ ， $\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O D}=-\boldsymbol{b}$ ，连接 $A B$ ．由向量减法的定义知 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})=$ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O C}$ ．在四边形 $O C A B$ 中，$O B \stackrel{//}{=} A$ ，所以 $O C A B$ 是平行四边形，所以 $\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O C}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ ．

向量减法几何意义的逆用：引入第三点，一个向量可以写成两个向量的差，如$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$．

4．向量减法的三角不等式

对任意向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，不等式 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|| \leqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| \leqslant$ $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ 成立。

（1）当 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 至少有一个为零向量时，有 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$ $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ ．

（2）当 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 均为非零向量时：

①若 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 不共线，则 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||<|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|<$ $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ ；

②若 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共线同向，则 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ $<|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ ；

③若 $a, b$ 共线反向，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ ．

5．例题讲解

【例题1】如图，已知向量 $\boldsymbol{a}$， $\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$ ，求作向量 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$ ．

解析

【解析】 如图所示，以 $A$ 为起点分别作向量 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{A C}$ ，使 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$ ，连接 $C B$ ，得向量 $\overrightarrow{C B}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ ；再以 $C$ 为起点作向量 $\overrightarrow{C D}$ ，使 $\overrightarrow{C D}=\boldsymbol{c}$ ，连接 $D B$ ，得向量 $\overrightarrow{D B}$ ．则向量 $\overrightarrow{D B}$ 即所求作的向量 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$ ．

【例题2】化简：$(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D})-(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D})$ ．

【练习】化简： $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D C}-\overrightarrow{C B}=(\quad)$

【例题3】设 $\boldsymbol{a}$， $\boldsymbol{b}$ 为单位向量，且 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$ ，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$_______________ ．

解析

如图所示，设 $\overrightarrow{O A}=a$ ， $\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$ ，利用平行四边形法则得 $\overrightarrow{O C}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，

$\because|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$ ， $\therefore \triangle O A C$ 为正三角形，

$\therefore|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{B A}|=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times|a|=\sqrt{3}$.

【例题4】已知 $|\overrightarrow{A B}|=6$，$|\overrightarrow{A C}|=4$ ，则 $|\overrightarrow{B C}|$ 的取值范围为 $(\quad)$．

$(A)$ $[-2,10]$

$(B)$ $[0,10]$

$(C)$ $(2,10)$

$(D)$ $[2,10]$

【例题5】如图，$O$为$\triangle ABC$的外心，$H$为垂心，求证：$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$．

如图，连接$AH$，$HC$，延长$BO$交圆$O$于点$D$，连接$DA$，$DC$，

则$OB=OD$，$DA\perp AB$，$DC\perp BC$．

又$AH\perp BC$，$CH\perp AB$，

$\therefore CH\parallel DA$，$AH\parallel DC$，

$\therefore $四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}$．

又$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$，

$\therefore \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ．