平面向量的运算 ——向量的加法运算

1．向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．

对于零向量与任意向量 $\boldsymbol{a}$ ，规定：$\boldsymbol{a}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}$ ．

2．向量加法的三角形法则

已知非零向量 $\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}$，在平面内任取一点 $A$， 作 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}$， $\overrightarrow{B C}=\boldsymbol{b}$， 如图， 则 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$．

求两个向量和的运算，就是向量的加法。 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\cdots+\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q R}=\overrightarrow{A R}$ ，但这时向量必须“首尾相连”．

3．向量加法的平行四边形法则

向量加法的平行四边形法则： 如图， 以起点为 $O$ 的两个已知向量 $\boldsymbol{a}$， $\boldsymbol{b}$ 为邻边作平行四边形 $O A C B$ ，则 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ，这种作向量和的方法就是向量加法的平行四边形法则．

4 ．向量加法的交换律和结合律

向量加法的交换律：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ ；

向量加法的结合律：$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ ．

5．向量加法的三角不等式

对任意向量 $\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}$， 不等式 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||\leqslant |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ 成立．

当 $\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}$ 至少有一个为零向量时， 有 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=$ $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$。

当 $\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}$ 均为非零向量时：

$(1)$ 若 $\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}$ 不共线， 则 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||<|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|<$ $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$；

$(2)$ 若 $\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}$ 共线同向， 则 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||<|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$；

$(3)$ 若 $\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}$ 共线反向， 则 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|<|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$．

【例题1】如图，已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，求作向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ．

解析

【解】方法一（三角形法则）：如图所示，在平面内任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ．

方法二（平行四边形法则）：如图所示，在平面内任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$ ，以 $O A, O B$ 为邻边作平行四边形 $O A C B$ ，连接 $O C$ ，则 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ．

【例题2】如图，在 $\triangle A B C$ 中，$O$ 为重心，$D, E, F$ 分别是 $B C, A C, A B$ 的中点，化简下列式子．

$(1)$ $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C E}+\overrightarrow{E A}$ ；

$(2)$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{F E}+\overrightarrow{D C}$ ．

【例题3】雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落速度的大小是 $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．现在有风，风使雨滴以 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度水平向东移动，求雨滴实际速度的大小和方向．

解析

【解】如图，用 $\overrightarrow{O A}$ 表示无风时雨滴下落的速度， $\overrightarrow{O B}$ 表示风使雨滴水平向东的速度．以 $O A, O B$ 为邻边作平行四边形 $O A C B$ ，则 $\overrightarrow{O C}$ 就是雨滴下落的实际速度．

由题可知，$O B \perp O A$ ，所以四边形 $O A C B$ 为矩形．

在 $\mathrm{Rt} \triangle O A C$ 中，$|\overrightarrow{O A}|=4,|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{O B}|=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，

所以 $|\overrightarrow{O C}|=\sqrt{|\overrightarrow{O A}|^2+|\overrightarrow{A C}|^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，

所以 $\tan \angle A O C=\frac{|\overrightarrow{A C}|}{|\overrightarrow{O A}|}=\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，所以 $\angle A O C=30^{\circ}$ ．故雨滴实际速度的大小是 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，方向为与坚直向下的方向成 $30^{\circ}$ 角向东．