向量的概念

这是一节概念课，要求精准掌握与向量相关的的概念．

向量的概念

我们把既有大小又有方向的量叫做向量．

我们所学的向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

只有大小没有方向的量称为数量，如长度，面积，体积，年龄，身高，质量等．

给出下列物理量：

（1）质量；（2）速度；（3）位移；（4）力；（5）加速度；（6）路程；（7）密度；（8）功；（9）时间．

其中不是向量的有

向量的表示

1．有向线段

我们把具有方向的线段叫做有向线段，它有三个要素：起点、方向、长度．

如图所示，向量可以用有向线段 $\overrightarrow{A B}$来表示 ，记作向量$\overrightarrow{A B}$．有向线段$\overrightarrow{A B}$的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．

向量的模

向量 $\overrightarrow{A B}$ 的大小称为向量 $\overrightarrow{A B}$ 的长度（或称模），记作 $|\overrightarrow{A B}|$．

任意向量的模都是非负数，所以向量的模可以比较大小．

零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 $\mathbf{0}$．

单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量．

相等向量与共线向量

1．平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． 向量 $ \boldsymbol{a} $ 与$\boldsymbol{b}$ 平行，记作$\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} $．

规定：零向量与任意向量平行, 即对于任意向量$\boldsymbol{a} $都有$ \mathbf{0} / / \boldsymbol{a}$．

由于向量的可平移性知：任意的两个平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量．

2．相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

【例题1】已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 一定平行吗？

【例题2】判断下列结论是否正确．

（1）若向量$\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$都是单位向量，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$．

（2）直角坐标平面上的$x$轴，$y$轴都是向量．

（3）海拔、温度、角度都不是向量．

（4）若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同．

（5）若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a}=\vec{b}$．

（6）若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，且 $|\vec{a}|>|\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}>\vec{b}$．

（7）若 $A, B, C, D$ 是不共线的四点，且 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形．

【例题3】如图，在矩形$ABCD$中，$AB=2BC=1$，$M$，$N$分别为边$AB$，$CD$的中点，在以$A$，$B$，$C$，$D$，$M$，$N$为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？