相濡以沫与函数的单调性不同，函数的奇偶性是函数的整体性质，即它要求定义域中任意一个自变量都具有这样的特性。
研究函数奇偶性的过程概括起来就是：具体函数——图象特征（对称性）——数量刻画——符号语言——抽象定义——奇偶性判定。
从特殊到一般的思想，是人们发现规律和不变性的重要方法，也是抽象数学概念的重要过程，在平时的学习过程中我们要经常进行这样的尝试。
偶函数：$\forall x\in \mathbb{R}$，都有$f(-x)=f(x)$，偶函数的图象关于$y$轴对称；
奇函数：$\forall x\in \mathbb{R}$，都有$f(-x)=-f(x)$，奇函数的图象关于原点对称。
根据奇偶性的定义可知，具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称。
在这个过程中，我们要从深层次理解奇偶性和对称性的关系：在一个函数中，自变量$x$所对的函数值与$-x$所对的函数值是相等还是相反数决定了此函数的图象是关于$y$轴对称还是关于原点对称，与函数的表达形式无关。例如：若函数$f(x)$为奇函数，则$f(-x)=-f(x)$，若$f(x+1)$为奇函数则有$f(-x+1)=-f(x+1)$，而不是$f(-x-1)=-f(x+1)$。
我们可以从两个方面来理解这个问题：
一、可令$g(x)=f(x+1)$，若$f(x+1)$为奇函数，则$g(x)$为奇函数，所以有$g(-x)=-g(x)$，即：$f(-x+1)=-f(x+1)$。
二、若$f(-x-1)=-f(x+1)$成立，我们可以认为在函数$f(x)$中，$-x-1$和$x+1$这两个相反数所对的函数值互为相反数，则$f(x)$的图象关于原点对称，即$f(x)$为奇函数，而不是$f(x+1)$为奇函数。
在人民教育出版社数学A版教材P87的习题中，有这样一道题：
我们知道，函数$y=f(x)$的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数$y=f(x)$为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数$y=f(x)$的图象关于点$P(a,b)$成中心对称图形的充要条件是函数$y=f(x+a)-b$为奇函数。
（1）求函数$f(x)=x^3-3x^2$图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论写出“函数$y=f(x)$的图象关于$y$轴成轴对称图形的充要条件是函数$y=f(x)$为偶函数”的一个推广结论。
对于上述问题的理解，若函数$y=f(x)$的图象关于点$P(a,b)$成中心对称图形，则$y=f(x)$的图象向左平移$a$个单位，再向下平移$b$个单位（$a>0,b>0$）后，图象关于原点对称，此时的函数变为$y=f(x+a)-b$。
因此我们得到：
定理：函数$y=f(x)$的图象关于点$P(a,b)$成中心对称图形的充要条件是$f(a+x)+f(a-x)=2b$；函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=a$成轴对称图形的充要条件是$f(a+x)=f(a-x)$。
上述定理可以进一步推广为：
定理：函数$y=f(x)$满足$f(a+x)+f(b-x)=c$的充要条件是它的图象关于点$P\left(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2}\right)$成中心对称图形；函数$y=f(x)$满足$f(a+x)=f(b-x)$的充要条件是它的图象关于直线$x=\frac{a+b}{2}$成轴对称图形。
【例题】已知函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$的定义域均为$\mathbb{R}$，$g\left( x+1 \right)+f\left( 1-x \right)=1$，$f\left( x+1 \right)-g\left( x+2 \right)=1$，且$y=f\left( x \right)$的图像关于直线$x=1$对称，则以下说法正确的是（ ）
$A$．$f\left( x \right)$和$g\left( x \right)$均为奇函数
$B$．$\forall x\in \mathbb{R},f\left( x \right)=f\left( x+4 \right)$
$C$．$\forall x\in \mathbb{R},g\left( x \right)=g\left( x+2 \right)$
$D$．$g\left( -\frac{3}{2} \right)=0$
当一个可导函数是偶函数时，有$f(-x)=f(x)$，对这个式子两边求导可得：$-f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x)$，因此，它的导函数是一个奇函数，反之也成立。
同理我们可以得到：当一个可导函数是奇函数时，有$f(-x)=-f(x)$，对这个式子两边求导可得：$f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x)$，因此，它的导函数是一个偶函数，反之不一定成立。不成立的原因是，原函数中可能有一个多余的常数。所以我们可以这样认为：当一个可导函数$f(x)$的导函数$f^{\prime}$为偶函数时，存在一个常数$t$，使得$f(x)-t$为奇函数。可以用下面的定理来描述：
如果原函数可导、导函数为奇函数，那原函数是偶；
原函数可导且过原点，导函数为偶函的，那原函数是奇，反之也成立。
【例题】已知函数$f(x)$及其导函数$f^{\prime}(x)$的定义域均为$\mathbb{R}$，记$g(x)={f}^{\prime}(x)$，若$f\left( \frac{3}{2}-2x \right)$，$g(2+x)$均为偶函数，则（ ）
$A$．$f(0)=0$
$B$．$g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=0$
$C$．$f(-1)=f(4)$
$D$．$g(-1)=g(2)$
实际上，原函数和导函数除了奇偶性具有特定的关系之外，对于周期行也有相应的关系，你能自己研究吗？
已知函数$f\left( x \right)$，$g\left( x \right)$的定义域均为$\mathbb{R}$，$f\left( x+1 \right)$是奇函数，且$f\left( 1-x \right)+g\left( x \right)=2$，$f\left( x \right)+g\left( x-3 \right)=2$，则（ ）
$A$．$f\left( x \right)$为奇函数
$B$．$g\left( 0 \right)=2$
$C$．$\sum\limits_{k=1}^{20}{f\left( k \right)}=0$
$D$．$\sum\limits_{k=1}^{20}{g\left( k \right)}=80$
（多选题）定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$和$g(x)$，函数$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，且满足$f(x)+g(x+1)=2,g(x)-f(1-x)=1$，若$g(2)=2$，则（ ）
$A$．$f(0)=1$
$B$．函数$f(x)$的图象是中心对称图形
$C$．$f(2024)=\dfrac{1}{2}$
$D$．$g(2024)=2$
设$f\left( x \right)$是定义在$\mathbb{R}$上的可导函数，其导数为$g\left( x \right)$，若$f\left( 3x+1 \right)$是奇函数，且对于任意的$x\in \mathbb{R}$，$f\left( 4-x \right)=f\left( x \right)$，则对于任意的$k\in \mathbb{Z}$，下列说法正确的是（ ）
$A$．$4k$都是$g\left( x \right)$的周期
$B$．曲线$y=g\left( x \right)$关于点$\left( 2k,0 \right)$对称
$C$．曲线$y=g\left( x \right)$关于直线$x=2k+1$对称
$D$．$g\left( x+4k \right)$都是偶函数
已知函数$f\left( x \right)$与函数$g\left( x \right)$的定义域均为$\mathbb{R}$，且$g\left( x \right)$是$f\left( x \right)$的导数，若$f\left( \dfrac{1}{2}+x \right)$是偶函数，$g\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)$为奇函数，则（ ）
$A$．$f\left( 0 \right)=1$
$B$．$g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=0$
$C$．$f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{5}{2} \right)$
$D$．$g\left( -2 \right)=g\left( 2 \right)$
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