相濡以沫

快讯

• 马尔可夫链

  马尔可夫全名德雷·安德耶维齐 ∙ 马尔可夫，生于1856年6月14日，俄国数学家，出生于梁赞，他的父亲是一位中级官员，后来举家迁往圣彼得堡，1874 年马尔可夫入圣彼得堡大学，师从切比雪夫，毕业后留校任教，1886 年当选为圣彼得堡科学院院士。

  马尔可夫的主要研究领域在概率和统计方面，他的研究开创了随机过程这个新的领域，以他的名字命名的马尔可夫链在现代工程、自然科学和社会科学各个领域都有很广泛的应用，他的主要著作有《概率演算》等。

  对于随机变量序列$X_n$，已知第$n$小时的状态$X_n$ ,如果 $X_{n+1}$ 的随机变化规律与 $X_0,X_1,X_2,\cdots ,X_{n-1}$ 的取值都没有关系，那么称随机变量序列$X_n$具有马尔可夫性，称具有马尔可夫性的随机变量序列$\{X_n\}$为马尔可夫链。

  可以看出自从新教材引入全概率公式，马尔科夫链就作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推。可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注的。

  2周前 (03-18)

• FluffOS在Ubuntu/Debian系统下的编译 驱动Gbk编码的mud

  系统配置

  从软件源服务器上获取最新的软件包列表信息。

  sudo apt update

  依据之前通过 sudo apt update 所更新的软件包列表信息，将系统中已安装的软件包升级到最新版本。

  sudo apt upgrade

  执行以下指令安装编译所需的包：

  sudo apt install git bison build-essential libjemalloc-dev zlib1g-dev libssl-dev libmariadb-dev libsqlite3-dev libpq-dev libpcre3-dev libevent-dev libicu-dev libdw-dev binutils-dev gcc g++ autoconf automake cmake python3 -y

  下载FluffOS

  # 使用 git 下载fluffos源代码
  git clone https://github.com/fluffos/fluffos.git
  
  # 进入fluffos目录
  cd fluffos

  提示：如果出现git: command not found的错误，请先使用以下指令安装git:

  sudo apt install git

  按照下图修改src目录下的local_option配置文件：

  v2017编译指令

  2017 下编译使用 autoconf 和 automake。

  # 切换到 fluffos v2017 分支
  git checkout v2017
  
  # 进入项目源码目录
  cd src
  
  # 检查环境配置并生成makefile
  ./build.FluffOS
  
  # 编译并安装驱动文件到 `bin` 目录
  make install

  编译好的驱动在 bin 目录中，包括 driver 和 portbind 二个文件，其中 driver 是我们需要的驱动程序。把/fluffos/bin目录下的两个文件复制到mud的配置文件下即可。

  v2019编译指令

  2019 下编译使用 cmake。

  # 创建并进入 `build` 目录
  $ mkdir build && cd build
  
  # 检查环境配置并生成makefile
  $ cmake ..
  
  # 编译并安装驱动到 `build/bin` 目录
  #(`-j4`的4是CPU核心数，加速编译用，可修改)
  $ make -j4 install

  编译好的驱动在 build/bin 目录中，其中文件 driver 是我们需要的驱动程序，www 目录为 websocket 所需的模拟终端，需要放到LIB目录中，include 目录中为驱动定义由 mudlib 使用的头文件，std 目录中的 json.c 为 json 模拟外部函数。

  由于国内大部分mud都是gbk编码，例如西游记，并且很多代码不规范，在fluffos驱动的过程种会出现很多错误，这里有在Debian系统下编译好的驱动，只须将其复制到Lib配置文件下，安装好其所依赖的库即可：

  sudo apt-get install git-core vim-nox terminator
  sudo apt-get install build-essential bison gcc g++
  sudo apt-get install libevent-dev

  2个月前 (02-18)

• 排列组合题型 特殊优先原则

  在对元素进行排列组合时，若遇到某个或者某几个元素或位置有特殊要求时，一般先排这些元素或位置，再排其余没有特殊要求的元素或位置．

  【例1】从甲、乙、丙、丁、戊五人中选2人分别担任班长和副班长，则不同的选派方法有__________种．

  解析

  本题属于简单的排列问题，相当于从$5$个元素中选$2$个按照一定次序（班长、副班长）排列，有$A_{5}^{2}=5\times4=20$种选派方案．

  【变式1】从甲、乙、丙、丁、戊五人中选2人分别担任班长和副班长，其中甲不能担任班长，则不同的选派方法有__________种．

  解析

  【法一】在这个问题中甲就有了特殊要求，那么我们就可以优先处理甲元素，可以分为两类：

  $\textcircled{1}$ 甲入选，则只能当副班长，只需从余下的4人中选择1人担任班长即可，有$A_{4}^{1}=4$种选派方案；

  $\textcircled{2}$ 甲没有入选，则只需从余下的4人中选择2人担任班长和副班长，有$A_{4}^{2}=4\times 3=12$种选派方案；

  综上所述：共有$4+12=16$种选派方案．

  【法二】另外，我们还可以考虑“班长”这个特殊位置，由于甲不能担任班长，则需从其余4人种选择1人担任班长，再从包括甲在内的4人种选择1人担任副班长，有$A_{4}^{1}\cdot A_{4}^{1}=4\times4=16$种选派方案．

  【法三】若甲担任班长，则有$A_{4}^{1}=4$种选派方案，因此，甲不能担任班长，有$A_{5}^{2}-A_{4}^{1}=16$种选派方案．

  【变式2】从甲、乙、丙、丁、戊五人中选2人分别担任班长和副班长，其中甲不能担任班长，乙不能担任副班长，则不同的选派方法有__________种．

  解析

  【法一】在这个问题中甲和乙都有特殊要求，那么我们就可以优先处理甲、乙元素，可以分为两类：

  $\textcircled{1}$ 甲和乙都入选，则甲只能当副班长，乙只能当班长，只有1种选派方案；

  $\textcircled{2}$ 甲入选，乙没有入选，此时，甲只能担任副班长，则只需从余下的3人中选择1人担任班长即可，有$A_{3}^{1}=3$种选派方案；

  $\textcircled{3}$ 甲没有入选，乙入选，此时，乙只能担任班长，则只需从余下的3人中选择1人担任副班长即可，有$A_{3}^{1}=3$种选派方案；

  $\textcircled{4}$ 甲和乙都没有入选，则只需从余下的3人中选择2人担任班长和副班长即可，有$A_{3}^{2}=3\times 2=6$种选派方案；

  综上所述：共有$1+3+3+6=13$种选派方案．

  【法二】另外，我们还可以考虑“班长”这个特殊位置，由于甲不能担任班长，而乙不能担任副班长，所以我们可以先考虑乙，分两类：

  $\textcircled{1}$ 若乙担任班长，则只需从余下的4人中选择1人担任副班长即可，有$A_{4}^{1}=4$种选派方案；

  $\textcircled{2}$ 若乙不担任班长，由于甲不能担任班长，可以分两步：先选班长，再选副班长，有$A_{3}^{1}\cdot A_{3}^{1}=3\times3=9$种选派方案．

  综上所述：共有$4+9=13$种选派方案．

  同时，你也可以按照“甲担任副班长”和“甲不担任副班长”来分类．

  【法三】此外，我们还可以采用间接法：

  $\textcircled{1}$ 若没有任何限制条件，有$A_{5}^{2}=5\times 4=20$种选派方案；

  $\textcircled{2}$ 甲担任班长，有$A_{4}^{1}= 4$种选派方案；

  $\textcircled{3}$ 乙担任副班长，有$A_{4}^{1}= 4$种选派方案；

  综上所述：共有$A_{5}^{2}-A_{4}^{1}-A_{4}^{1}+1=13$种选派方案．

  注意：为什么要$+1$呢？

  【例2】用$0$、$1$、$2$、$3$、$4$五个数字可以排成没有重复数字的四位数____________个．

  解析

  【法一】在数字排序的问题中，首位是特殊位置，因此可以先处理首位，有$A_{4}^{1}$种方法，再处理其他位有$A_{4}^{3}$种方法，共有$A_{4}^{1}\times A_{4}^{3}=4\times 4\times 3\times 2=96$种方法．

  【法二】另外我们还可以考虑特殊元素0，可以分为两类：

  $\textcircled{1}$ 有0：0先找一个位置，再从其余四个元素种选三个排到其他位置，有$A_{3}^{1}\times A_{4}^{3}=3\times 4\times 3\times 2=72$种方法；

  $\textcircled{2}$ 没有0：相当于从其余四个元素种选四个排列，有$A_{4}^{4}=4\times 3\times 2\times 1=24$种方法；

  $\textcircled{3}$ 乙担任副班长，有$A_{4}^{1}= 4$种选派方案；

  综上所述：共有$72+24=96$种方法．

  【法三】此外，我们还可以采用间接法：

  有$A_{5}^{4}-A_{4}^{3}=96$种方法．你能解释一下原因吗？

  【变式1】用$0$、$1$、$2$、$3$、$4$五个数字可以排成没有重复数字的四位偶数____________个．

  解析

  在这个问题中，末位和首位都是特殊位置，由于强调组成偶数，所以我们可以先来考虑末位，而末位是0和不是0对首位有影响，所以可以将此问题分为两类：

  $\textcircled{1}$ 末位是0：只需从$1$、$2$、$3$、$4$四个数字中选择3个排列到其余三个位置，有$A_{4}^{3}=24$种方法；

  $\textcircled{2}$ 末位不是0：只需从$2$、$4$两个数字中选择1个放到末位，有$A_{2}^{1}= 2$种方法；这时，首位不可以放0，需要从其余3个数字中选择1个放到首位，有$A_{3}^{1}= 3$种方法；最后，只需在剩余3个数字中选择2个排列到其余位置，有$A_{3}^{2}=6$种方法；共有$2\times 3\times 6 = 36$种方法；

  综上所述：共有$24+36=60$种方法．

  2个月前 (01-31)

• 速求法向量

  在利用向量研究立体几何问题中，经常出现求平面的法向量的情况，这里给出一种速算法向量的方法：

  第一步：上下双写；

  第二步：掐头去尾；

  第三步：叉乘相减．

  例如：若$\overrightarrow{AB}=(1,2,1)$，$\overrightarrow{AC}=(3,4,2)$，求平面$ABC$的法向量．

  第一步：上下双写可得到$$\begin{matrix}   1 & 2& 1& 1&2& 1 \\   3 & 4& 2& 3&4& 2 \end{matrix}$$

  第二步：掐头去尾可得到$$\begin{matrix}   \bcancel{1} & 2& 1& 1&2& \bcancel{1} \\   \bcancel{2} & 4& 2& 3&4& \bcancel{2} \end{matrix}$$

  第三步：叉乘相减：$$2\times2-1\times4=0\\1\times3-1\times2=1\\1\times4-2\times3=-2$$

  因此平面$ABC$的法向量$\vec{n}=(0,1,-2)$．

  你学会了吗？

  3个月前 (01-19)

• 再议Dandelin双球模型

  1．平面截圆锥

  本站前面有一篇文章：《2024年杭州二模14题与圆锥截口曲线》，介绍了圆锥截口曲线为椭圆的情形，最近遇到了很多这样的题目，因此本文再系统介绍一下圆锥截口曲线的问题．

  

  如图所示，在这里假设圆锥的轴和母线的夹角为$\alpha$，轴和截面的夹角为$\beta$，那么圆锥的截口曲线有如下结论：

  若$\beta=\dfrac{\pi}{2}$，则截口曲线为圆；

  若$\alpha<\beta<\dfrac{\pi}{2}$，则截口曲线为椭圆；

  若$\beta=\alpha$，则截口曲线为抛物线；

  若$0 \leqslant\beta<\alpha$，则截口曲线为双曲线；

  并且截面与内切球的切点为圆锥曲线的焦点（或圆心），圆锥曲线的离心率为$e=\dfrac{\cos\beta}{\cos \alpha}$．

  2．椭圆

  在《2024年杭州二模14题与圆锥截口曲线》中已经对截面是椭圆的情形证明过，在此不再赘述，只证明离心率的结论．

  

  如图所示：$$2a=A_1F_1+A_1F_2=A_1Q+A_1P=PQ=O_1O_2\cos\alpha,$$

  $$2c=F_1F_2=O_1O_2\cos\beta,$$

  $\therefore e=\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{\cos\beta}{\cos \alpha}$．

  3个月前 (01-17)

• 平面向量的运算 ——向量的数乘运算

  1．向量数乘的定义

  一般地，我们规定实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 $\lambda \boldsymbol{a}$ ，它的长度与方向规定如下：

  （1）$|\lambda \boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|$ ；

  （2）当 $\lambda>0$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同；当 $\lambda<0$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反；当 $\lambda=0$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ ，向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向是任意的．

  2．向量数乘的几何意义

  

  如图，在向量数乘中，$|\lambda|$ 可视为将向量 $\boldsymbol{a}$ 的长度伸长 $(|\lambda| \geqslant 1)$ 或缩短 $(|\lambda|<1)$ 的倍数．

  $\lambda$ 的符号表示是否改变向量的方向，当 $\lambda>0$ 时，向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同；

  当 $\lambda<0$ 时，向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反；

  当 $\lambda=0$ 时，向量 $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ ，此时向量 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向是任意的．

  3．向量数乘的运算律

  设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为向量，$\lambda, \mu$ 为实数，那么

  （1）$\lambda(\mu \boldsymbol{a})=(\lambda \mu) \boldsymbol{a}$ ；

  （2）$(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}$ ；

  （3）$\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ ．

  注意：$(1) 0 \cdot \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ ；（2）$\lambda+\mu \boldsymbol{a}, \lambda-\mu \boldsymbol{a}$ 等无意义．

  向量的加，减，数乘运算统称为向量的线性运算．

  对于任意向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，以及任意实数 $\lambda, \mu_1, \mu_2$ ，恒有 $\lambda\left(\mu_1 \boldsymbol{a} \pm \mu_2 \boldsymbol{b}\right)=\lambda \mu_1 \boldsymbol{a} \pm \lambda \mu_2 \boldsymbol{b}$．

  4．向量共线定理

  若向量 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0})$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线，则有且仅有唯一一个实数 $\lambda$ ，使 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$ ．

  当向量 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0})$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向时，$\lambda=\dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}$ ；

  当向量 $a(a \neq \mathbf{0})$ 与 $\boldsymbol{b}$ 反向时，$\lambda=-\dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}$ ．

  引申 $1:$ 当 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时，若 $\boldsymbol{b}=\mathbf{0}$ ，则 $\lambda$ 可取任意实数；若 $\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$ ，则 $\lambda$ 不存在．

  引申 2 ：若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线且有 $\lambda \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{b}$ ，则 $\lambda=\mu$ $=0$ ．

  5．例题

  【例1】 已知 $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ ，则在以下各命题中，正确命题的序号为________________．

  $(1)$ 当 $\lambda<0$，$ \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时， $\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反；

  $(2)$ 当 $\lambda<\mu$，$\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时，$|\lambda \boldsymbol{a}|<|\mu \boldsymbol{a}|$ ；

  $(3)$ 当 $\lambda \mu>0$，$ \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\mu \boldsymbol{a}$ 的方向相同；

  $(4)$ 当 $0<\lambda<\mu$，$ \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时，$\lambda \boldsymbol{a}<\mu \boldsymbol{a}$ ；

  $(5)$ 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，则 $\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\mu \boldsymbol{b}$ 也不共线；

  $(6)$ 与 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0})$ 平行的单位向量是 $\pm \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ ．

  解析

  提示：概念辨析，$(1)$ ，$(3)$ ，$(6)$ 是正确的．

  $(2)$ 取 $\lambda=-3$，$\mu=1$ ，结论不成立；

  $(4)$ 向量不能比较大小；

  $(5)$ 取 $\lambda=0$ ，结论不成立 ．

  【例题2】化简：$\dfrac{2}{3}\left[(4 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})+\dfrac{1}{3} \boldsymbol{b}-\dfrac{1}{4}(6 \boldsymbol{a}-7 \boldsymbol{b})\right]=$______________ ．

  解析

  $$\begin{aligned}\text { 解：原式 } & =\frac{2}{3}\left(4 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}+\frac{1}{3} \boldsymbol{b}-\frac{3}{2} \boldsymbol{a}+\frac{7}{4} \boldsymbol{b}\right) \\ & =\frac{2}{3}\left[\left(4-\frac{3}{2}\right) \boldsymbol{a}+\left(-3+\frac{1}{3}+\frac{7}{4}\right) \boldsymbol{b}\right] \\& =\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2} \boldsymbol{a}-\frac{11}{12} \boldsymbol{b}\right) \\& =\frac{5}{3} \boldsymbol{a}-\frac{11}{18} \boldsymbol{b}\end{aligned}$$

  【练习】若 $3 \boldsymbol{m}+2 \boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{m}-3 \boldsymbol{n}=\boldsymbol{b}$ ，其中 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 是已知向量，求 $\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$ ．

  解析

  把已知中的两个等式看成关于 $\boldsymbol{m}$，$ \boldsymbol{n}$ 的方程，

  联立得方程组 $\begin{cases}3 \boldsymbol{m}+2 \boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{m}-3 \boldsymbol{n}=\boldsymbol{b},\end{cases}$

  解得 $\begin{cases}\boldsymbol{m}=\dfrac{3}{11} \boldsymbol{a}+\dfrac{2}{11} \boldsymbol{b}\\[10pt] \boldsymbol{n}=\dfrac{1}{11} \boldsymbol{a}-\dfrac{3}{11} \boldsymbol{b} .\end{cases}$

  解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．

  【例题3】 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$B D=2 D C$ ．若 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}$， $\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$，则 $\overrightarrow{A D}=(\quad)$

  

  $(A)$ $\dfrac{2}{3} \boldsymbol{a}+\dfrac{1}{3} \boldsymbol{b}$

  $(B)$ $\dfrac{2}{3} \boldsymbol{a}-\dfrac{1}{3} \boldsymbol{b}$

  $(C)$ $\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}+\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b}$

  $(D)$ $\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}-\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b}$

  解析

  由题意可得：

  $\begin{aligned}\overrightarrow{A D}&=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}\\&=\overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{B C}\\&=\overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})\\&=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}\\&=\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}+\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b} .\end{aligned}$

  答案：$C$

  用已知向量表示相关向量的基本思路

  用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．

  【练习】 如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{D C}$，$E$ 是 $B D$ 的三等分点．设 $\overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ ，则 $x=$___________ ，$y=$___________．

  

  解析

  解法一：代数回路法

  $\begin{aligned}\overrightarrow{A E}& =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}\\ & =\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B D}\\ & =\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B})\\ & =\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A D} \\ & =\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \overrightarrow{A C}\\ &= \frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C} .\end{aligned}$

  故 $x=\dfrac{2}{3}$，$ y=\dfrac{1}{4}$ ．

  解法二：几何分解法

  如图 ，过点 $E$ 作 $A C$，$A B$ 的平行线交 $A B$，$A C$ 于点 $M$，$N$ ．

  

  由相似知$$\overrightarrow{A M} =\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}, $$ $$\overrightarrow{A N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C} $$

  故$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N} =\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{A C}$．

  【例题4】已知 $A, B, C$ 是三个不同的点， $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，$ \overrightarrow{O B}=2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$，$ \overrightarrow{O C}=3 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}$ ．

  $(1)$ 求证：$A$，$ B$，$ C$三点共线；

  $(2)$ 已知 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 不共线，若 $\left(k \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\right) \parallel\left(\boldsymbol{e}_1+k \boldsymbol{e}_2\right)$ ，求 $k$ 的值．

  $(3)$ 不经过原点 $O$ 的直线 $l$ 上有三点 $A$，$B$，$C$ ，求证：存在实数 $x$，$y$ ，且 $x+y=1$ ，使得 $\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$ ，并断其逆命题是否成立．

  解析

  $(1)$ 证明：因为 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$，

  $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}=(3 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2 \boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b}$ ，

  所以 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A B}$ ，因此$A$，$B$，$C$ 三点共线．

  $(2)$ 因为 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 不共线，所以 $\boldsymbol{e}_1+k \boldsymbol{e}_2 \neq \mathbf{0}$ ，

  又 $\left(k \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\right) \parallel\left(\boldsymbol{e}_1+k \boldsymbol{e}_2\right)$ ，

  所以存在实数 $\lambda$ ，使 $k \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2=\lambda\left(\boldsymbol{e}_1+k \boldsymbol{e}_2\right)$ ，

  即 $\begin{cases}k=\lambda, \\ 1=k \lambda,\end{cases}$

  解得 $k= \pm 1$ ．

  $(3)$ 设 $\overrightarrow{A C}=\lambda \overrightarrow{A B}$ ，则 $\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}=\lambda(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})$，

  $\overrightarrow{O C}=(1-\lambda)$ $\overrightarrow{O A}+\lambda \overrightarrow{O B}$ ，

  令 $1-\lambda=x$，$\lambda=y$ ，则 $x+y=1$ ．

  逆命题也成立．

  若 $x+y=1$ ，则 $\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+(1-x) \overrightarrow{O B}$ ，

  即 $\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}=x \overrightarrow{O A}-x \overrightarrow{O B}$ ，

  即 $\overrightarrow{B C}=x \overrightarrow{B A}$ ，

  所以 $\overrightarrow{B C}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 共线，

  又因为 $\overrightarrow{B C}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 有一个公共点，故 $A$，$ B$，$ C$ 三点共线．

  三点共线的充要条件

  $A$，$ B$，$ C$三点共线 $\Leftrightarrow$ 向量 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 共线 $\Leftrightarrow$ 存在唯一实数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{A C}=\lambda \overrightarrow{A B}(\overrightarrow{A B} \neq \mathbf{0}) \Leftrightarrow$ 存在实数 $\lambda$ ， $\mu$ ，且 $\lambda+\mu=1$ ，使得 $\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$（点 $O$ 不在经过$A$，$ B$，$ C$三点的直线上）．

  【练习】在 $\triangle A B C$ 中，点 $P$ 满足 $B P=2 P C$ ，过点 $P$的直线与 $A B$，$A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ ， $N$ ，若 $\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A M}$，$\overrightarrow{A C}=\mu \overrightarrow{A N}(\lambda>0$，$ \mu>0)$ ，求 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}$ 的最小值．

  

  解析

  【解】连接 $A P$ ，如图．

  

  $\because \triangle A B C$中，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=2 \overrightarrow{P C}$ ，

  $\therefore \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\right)=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}$．

  又 $\because \overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A M}$，$\overrightarrow{A C}=\mu \overrightarrow{A N}(\lambda>0, \mu>0)$，

  $\therefore \overrightarrow{A P}=\dfrac{2 \mu}{3} \overrightarrow{A N}+\dfrac{\lambda}{3} \overrightarrow{A M}$．

  又 $\because M$， $P$， $N$ 三点共线，

  $\therefore \dfrac{2 \mu}{3}+\dfrac{\lambda}{3}=1$，$( \lambda>0$，$ \mu>0)$，

  $\begin{aligned}\therefore \dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}&=\left(\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}\right)\cdot\left(\dfrac{2 \mu}{3}+\dfrac{\lambda}{3}\right)\\&=\dfrac{2 \mu}{3 \lambda}+\dfrac{\lambda}{3 \mu}+1 \\&\geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2 \mu}{3 \lambda} \cdot\dfrac{\lambda}{3 \mu}}+1\\&=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}+1\text{，}\end{aligned}$

  当且仅当 $\dfrac{2 \mu}{3 \lambda}=\dfrac{\lambda}{3 \mu}$， 即$\begin{cases}\mu=\dfrac{3(2-\sqrt{2})}{2}\\[10pt] \lambda=3(\sqrt{2}-1) \end{cases}$ 时取 “$=$”，

  则 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu} $的最小值为 $\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}+1$ ．

  【例题5】已知 $O$ 是平面内一定点，$A, B, C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$满足 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\dfrac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)(\lambda \in[0$ ， $+\infty)$ ），则点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle A B C$ 的

  $(A)$ 外心

  $(B)$ 内心

  $(C)$ 重心

  $(D)$ 垂心

  解析

  【解析】 $\dfrac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}$ 为 $\overrightarrow{A B}$ 上的单位向量， $\dfrac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 为 $\overrightarrow{A C}$ 上的单位向量，

  设 $\angle B A C$ 的平分线为 $A D$ ，则 $\dfrac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\dfrac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 的方向为 $\overrightarrow{A D}$ 的方向．

  又 $\because \lambda \in[0,+\infty)$，

  $\therefore \lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\dfrac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)$ 的方向与 $\dfrac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\dfrac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 的方向相同．

  $\because \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\dfrac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)$，

  $\therefore$ 点 $P$ 在射线 $A D$ 上移动．

  $\therefore$ 点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle A B C$ 的内心．

  【练习】已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内的一定点，$P$ 是平面 $A B C$ 内一动点．若 $\overrightarrow{O P}=$ $\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)$，$ \lambda \in(0,+\infty)$ ，则点 $P$ 的轨迹一定经过 $\triangle A B C$ 的

  $(A)$ 外心

  $(B)$ 内心

  $(C)$ 重心

  $(D)$ 垂心

  解析

  答案：$C.$

  【例题6】已知 $P$ 是 $\triangle A B C$ 内一点，满足 $2 \overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}+$ $4 \overrightarrow{P C}=\mathbf{0}$ ，求 $S_{\triangle P B C}: S_{\triangle P C A}: S_{\triangle P A B}$ ．

  解析

  如图，分别延长 $P A, P B, P C$ 至点 $D, E, F$ ，使 $P D=2 P A, P E=3 P B, P F=4 P C$ ，则 $\overrightarrow{P D}+\overrightarrow{P E}+\overrightarrow{P F}=\mathbf{0}$ ，

  

  即 $P$ 为 $\triangle D E F$ 的重心，从而 $S_{\triangle P D E}=S_{\triangle P E F}=S_{\triangle P F D}$ ．

  另一方面，$S_{\triangle P A B}=\dfrac{1}{2 \times 3} S_{\triangle P D E}, S_{\triangle P B C}=\dfrac{1}{3 \times 4} S_{\triangle P E F}$ ， $S_{\triangle P A C}=\dfrac{1}{2 \times 4} S_{\triangle P D F}$ ，
  故 $S_{\triangle P B C}: S_{\triangle P C A}: S_{\triangle P A B}=2: 3: 4$ ．

  一般地，设点 $O$ 在 $\triangle A B C$ 内部，且有 $p \overrightarrow{O A}+q \overrightarrow{O B}$ $+r \overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$，$\left(p\text{，} q\text{，} r \in \mathbb{R}_{+}\right)$，则 $\triangle A B C$ 的面积与 $\triangle A O B$，$\triangle B O C$，$ \triangle A O C$ 的面积的比分别为 $\dfrac{p+q+r}{r}$，$ \dfrac{p+q+r}{p}$，$ \dfrac{p+q+r}{q}$．

  可以参考以下文章：

  3个月前 (01-13)