高中数学

条件概率的定义、计算及性质

相濡以沫 · 2025/6/15 18:51:53 · 115 · admin · 条件概率

## 条件概率的定义
条件概率定义：设$A$，$B$为两个随机事件，且$P(A)>0$，我们称$P\left( B|A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}$为在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的条件概率，简称条件概率$.$
## “条件概率”与“交事件的概率”区分
设$A$，$B$为两个随机事件

条件概率：$P\left( B|A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}$为在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的条件概率$.$

交事件的概率：即$A,B$同时发生的概率：$P\left( AB \right).$
## 古典概型中的条件概率
对于古典概型类，可以采用基本事件总数的方法来计算：即$P(B|A)=\frac{N(AB)}{N(A)}$，其中$N\left( AB \right)$表示事件$AB$所包含的基本事件个数，$N(A)$表示事件$A$包含的基本事件个数$.$

除此之外，我们还可以通过变化样本空间的方法求条件概率，变化样本空间是从直观角度出发，通过 “缩小样本空间” 来简化条件概率的计算，尤其适用于有限等可能样本空间的场景。

例如：袋中有 $3$ 个红球$(R)$和 $2$ 个白球$(W)$，不放回摸球两次$.$ 已知第一次摸到红球（事件$A$），求第二次也摸到红球（事件$B$）的概率$.$

在第一次摸到红球的前提下，只剩下$2$红$2$白，因此，在第一次摸到红球的前提下，第二次也摸到红球的概率：$P(B|A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$
## 条件概率的性质
条件概率的性质：设$P(A)>0$，则

（1）$P\left( \Omega |A \right)=1$；

（2）如果B和C是两个互斥事件，则$P\left( B\bigcup C|A \right)=P\left( B|A \right)+P\left( C|A \right)$；

（3）设$B$和$\bar{B}$互为对立事件，则$P\left( \overline{B}|A \right)=1-P\left( B|A \right).$

## 条件概率与互斥，对立，相互独立事件的结合
事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率：$P\left( B|A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}$；

$A,B$同时发生的概率：$P\left( AB \right)$，  $A,B$至少一个发生的概率：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$；

$A,B$互斥$\Longleftrightarrow P(AB)=0$，且$P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)$；

$A,B$对立$\Longrightarrow P(AB)=0$，且$P\left( A\cup B \right)=1$；

$A,B$相互独立，则$P(AB)=P(A)P(B).$

## 概率的乘法公式
由条件概率的定义可知：$$P(AB)=P(A)\cdot P(B|A).$$

条件概率的定义、计算及性质

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