高中数学

第03讲集合的基本运算

相濡以沫 · 2025/6/10 7:44:19 · 133 · admin · 集合

## 并集
一般地，由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素所组成的集合，称为集合 $A$ 与 $B$ 的并集，记作：$A\cup B$ 读作：“$A$ 并 $B$”，即：$A\cup B=\{x|x\in A$，或 $x\in B\}$;

Venn图表示:
<div align="center"> <img src="/uploads_my/2025-07/326cff.svg" /></div>
<div class="note">
  <font color="red" size=4><i class="fa fa-bell text-primary"></i>性质：</font>
  
  ① $A\cup A=A$；
  ② $A\cup \varnothing=A$；
  ③ $A\cup B=B\cup A$；
  ④ $A\subseteq A\cup B$，$B\subseteq A\cup B$；
  ⑤ $A\cup B=B\Leftrightarrow A\subseteq B.$
</div>

## 交集
一般地，由所有属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的元素所组成的集合，称为集合 $A$ 与 $B$ 的并集，记作：$A\cap B$ 读作：“$A$ 交 $B$”，即：$A\cap B=\{x|x\in A$，且 $x\in B\}$.

Venn图表示:
<div align="center"> <img src="/uploads_my/2025-07/e546cb.svg" /></div>
<div class="note">
  <font color="red" size=4><i class="fa fa-bell text-primary"></i>性质：</font>
   
  ① $A\cap A=A$；
  ② $A\cap \varnothing=\varnothing$；
  ③ $A\cap B=B\cap A$；
  ④ $A\cap B\subseteq A$，$A\cap B\subseteq B$；
  ⑤ $A\cap B=A\Leftrightarrow A\subseteq B.$
</div>

## 全集与补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 $U$.

补集：对于全集 $U$ 的一个子集 $A$，由全集 $U$ 中所有不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合称为集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集(complementary set)，简称为集合 $A$ 的补集，记作：$\complement_UA$， 即 $\complement_UA=\{\left. x \right|x\in U,x\notin A\}$.

补集的Venn图表示：

<div align="center"> <img src="/uploads_my/2025-07/9db825.svg" /></div>
<div class="note">
  <font color="red" size=4><i class="fa fa-bell text-primary"></i>性质：</font>
   
  ① $\complement_UU=\varnothing$；
  ② $\complement_U\varnothing=U$；
  ③ $\complement_U\left(\complement_UA\right)=A$；
  ④ $\complement_UA\cap A=\varnothing$；
  ⑤ $\complement_UA\cup A=U$；
  ⑥ $\complement_U\left(A\cap B\right)=\left(\complement_UA\right)\cup\left(\complement_UB\right)$；      
  ⑦ $\complement_U\left(A\cup B\right)=\left(\complement_UA\right)\cap\left(\complement_UB\right)$
</div>

## 容斥原理
把含有限个元素的集合 $A$ 叫做有限集，用 $\text{Card}(A)$ 来表示有限集合 $A$ 中元素的个数.

一般的，对任意两个有限集合 $A$，$B$ 有 $\text{card}\left(A\cup B\right)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}\left(A\cap B\right)$.

<div class="math-box">
  <div class="math-title">
  <i class="fa fa-book mr-2"></i>  例题讲解
  </div>  
<div class="math-content">
<div class="example"> 
<font color="red">【例题 1】</font>已知集合$M=\left\{ x\left| x\geqslant 1 \right. \right\}$，$N=\left\{ x\left| x<-1 \right. \right\}$，则$\complement_{\mathbb{R}}\left( M\cup N \right)=$________________.
</div>

<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>已知$M=\left\{ x\left| x\geqslant 1 \right. \right\}$，$N=\left\{ x\left| x<-1 \right. \right\}$，

则$M\cup N=\left\{ x\left| x<-1 \right. \right.$或$\left. x\geqslant 1 \right\}$，

则$\complement_{\mathbb{R}}\left( M\cup N \right)=\left\{ x\left| -1\leqslant x<1 \right. \right\}$.

</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 2】</font>如图，三个圆形区域分别表示集合 $A$，$B$，$C$．请用集合 $U$，$A$，$B$，$C$ 分别表示图中$\mathrm{I}$，$\mathrm{II}$，$\mathrm{III}$，$\mathrm{IV}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{VI}$，$\mathrm{VII}$，$\mathrm{VIII}$ 八个部分所表示的集合．
  
<div align="center"> <img src="/uploads_my/2025-07/a57975.svg" /></div>
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>图形 $\mathrm{I}$ 表示的集合为 $A\cap B\cap C$；
  
图形 $\mathrm{II}$ 表示的集合为 $A\cap B\cap \left( {{\complement }_{U}}C \right)$；
  
图形 $\mathrm{III}$ 表示的集合为 $A\cap C\cap \left( {{\complement }_{U}}B \right)$；
  
图形 $\mathrm{IV}$ 表示的集合为 $B\cap C\cap \left( {{\complement }_{U}}A \right)$；
  
图形 $\mathrm{V}$ 表示的集合为 $A\cap \left( {{\complement }_{U}}B \right)\cap \left( {{\complement }_{U}}C \right)$；
  
图形 $\mathrm{VI}$ 表示的集合为 $C\cap \left( {{\complement }_{U}}A \right)\cap \left( {{\complement }_{U}}B \right)$；
  
图形 $\mathrm{VII}$ 表示的集合为 $B\cap \left( {{\complement }_{U}}A \right)\cap \left( {{\complement }_{U}}C \right)$；
  
图形 $\mathrm{VIII}$ 表示的集合为 ${{\complement }_{U}}\left( A\cup B\cup C \right)$.

</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 3】</font>已知全集 $U=\left\{ x|x\leqslant 4 \right\}$，集合 $A=\left\{ x|-2 < x < 3 \right\}$，$B= \left\{ x|-3 \leqslant x \leqslant 2\right\}$，则 $\complement_{U}\left( A\cap B \right)=$____________，$\left(\complement_{U}A \right)\cup B=$_____________.	
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>利用数轴，分别表示出全集 $U$ 及集合 $A$，$B$，如图：
 
则 $\complement_{U}A=\{x|x\leqslant -2$ 或 $3\leqslant x\leqslant 4\}$．
  
又 $A\cap B=\{x|-2<x\leqslant 2\}$，

所以 $\complement_{U}(A\cap B)=\{x|x\leqslant -2$ 或 $2 < x\leqslant 4\}$，$\left(\complement_{U}A \right)\cup B=\{x|x\leqslant 2$ 或 $3\leqslant x\leqslant 4\}$．
</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 4】</font>已知集合 $A=\{x|-3 < x < 4\}$ $B=\{x|4a < x < a+3\}$，
  
(1)若 $a=-1$，求 $A\cap B$，$A\cup \left(\complement_{\mathbb{R}}B \right);$
  
(2)若集合 $B$ 是集合 $A$ 的真子集，求实数 $a$ 的取值范围．

</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>（1）若 $a=-1$，$B=\left( -4,2 \right)$，${{\complement }_{\mathbb{R}}}B=\left( -\infty ,-4 \right]\cup \left[ 2,+\infty  \right)$，

所以 $A\cap B=\left( -3,2 \right)$，$A\cup \left( {{\complement }_{\mathbb{R}}}B \right)=\left( -\infty ,-4 \right]\cup \left( -3,+\infty  \right)$．
  
（2）$\because B\subsetneqq A$，

①当 $B=\varnothing $ 时，此时 $4a\geqslant a+3$，即 $a\geqslant 1$；

②当 $B\ne \varnothing $ 时，此时 $4a<a+3$，即 $a<1$，

则$\begin{cases}   -3\leqslant 4a  \\   a+3\leqslant 4  \end{cases}$，且两个不等式不能同时取等，解得 $-\frac{3}{4}\leqslant a<1$，

综上，实数 $a$ 的取值范围为 $\left[ -\frac{3}{4},+\infty  \right)$．

</div>  
<div class="example">
<font color="red">【例题 5】</font>设已知 $a$ 为实数，集合 $A=\left\{ 1,4-a,{{a}^{2}}-6 \right\},B=\left\{ x\mid \left( x-1 \right)\left( x-a \right)=0 \right\}$，全集 $U=A\cup B$.

(1)若 $a=0$，求$\left( {{\complement }_{U}}A \right)\cup \left( {{\complement }_{U}}B \right)$；

(2)若 $A\cap B=B$，求实数 $a$ 的值.
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>（1）因为 $a=0$，所以 $A=\left\{ 1,4,-6 \right\},B=\left\{ 1,0 \right\}$，$U=A\cup B=\left\{ 0,1,4,-6 \right\}$，$A\cap B=\left\{ 1 \right\}$，

所以 $\left( {{\complement }_{U}}A \right)\cup \left( {{\complement }_{U}}B \right)={{\complement }_{U}}\left( A\cap B \right)=\left\{ 0,4,-6 \right\}$.
  
（2）当 $a=1$ 时，$A=\left\{ 1,3,-5 \right\},B=\left\{ 1 \right\}$，满足 $A\cap B=B$，所以 $a=1$ 成立；
  
当 $a\ne 1$ 时，$A=\left\{ 1,4-a,{{a}^{2}}-6 \right\},B=\left\{ 1,a \right\}$，
  
可得 $4-a\ne {{a}^{2}}-6$ 且 $4-a\ne 1$ 且 $1\ne {{a}^{2}}-6$，

得 $a\ne \frac{-1\pm \sqrt{41}}{2}$，且 $a\ne 3$，且 $a\ne \pm \sqrt{7}$，
  
因为满足 $A\cap B=B$，所以 $B\subset A$，
  
所以 $a=4-a$ 或 $a={{a}^{2}}-6$，得 $a=2$ 或 $a=-2$ 或 $a=3$（舍去），
  
所以 $a=2$ 或 $a=-2$；
  
综上，$a=1$ 或 $a=2$ 或 $a=-2$.

</div>
</div>
</div>

第03讲集合的基本运算

文章栏目

相关文章

推荐文章

第03讲 集合的基本运算

文章栏目

相关文章

推荐文章

第03讲集合的基本运算