高中数学

第02讲集合间的基本关系

相濡以沫 · 2025/6/2 14:10:52 · 59 · admin · 集合

## 子集与真子集
 <font color="red">子集</font>：    一般地，对于两个集合 $A$、$B$，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 $A$ 为集合 $B$ 的<font color="red">子集</font>.

记作：$A\subseteq B$ 或者 $B\supseteq A$，

读作：“ $A$ 包含于 $B$”(或“$B$ 包含 $A$”)，

符号语言：任意$x\in A,x\in B,A\subseteq B$.

<font color="red">Venn图</font>：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为<font color="red">Venn图</font>. 可以用图表示为：

<font color="red">真子集</font>：如果集合 $A\subseteq B$，但存在元素 $x\in B$，且$x\notin A$，就称集合 $A$ 是集合 $B$ 的<font color="red">真子集</font>.

记作：$A\subsetneqq B$（或$B\supsetneqq A$).

## 空集与集合相等
<font color="red">空集</font>：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为$\varnothing$.

<div class="note">
空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合$A$，有 $A\subseteq\varnothing$.
</div>

<font color="red">集合相等</font>：对于两个集合 $A$ 与 $B$，如果集合 $A$ 的任何一个元素都是集合 $B$ 的元素，同时集合 $B$ 的任何一个元素都是集合 $A$ 的元素，我们就说集合 $A$ 等于集合 $B$，记作 $A=B$.

## 子集的个数
若一个集合含有 $m$ 个元素，则其子集有 $2^m$ 个，真子集有$(2^m -1)$个，非空真子集有$(2^m -2)$个.

<div class="math-box">
  <div class="math-title">
  <i class="fa fa-book mr-2"></i>  例题讲解
  </div>  
<div class="math-content">
<div class="example"> 
<font color="red">【例题 1】</font>下列四个集合中，$(\quad)$是空集
  
$A$．$\left\{ 0 \right\}\qquad$ $B$．$\left\{ x\left| x< -2,\right.\right.$ 且 $\left. x > 2 \right\}\quad$ $C$．$\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x^{2}-1=0 \right. \right\}\qquad$ $D$．$\left\{ x\left| x>4 \right. \right\}$
</div>

<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>选项 $A$：集合中有一个元素 $0$，不为空集；
  
选项 $B$：集合$\left\{ x\left| x < -2,\right.\right.$ 且 $\left. x > 2 \right\}$中不存在元素，所以该集合为空集；
  
选项 $C$：集合中有一个元素 $1$，所以不为空集；
  
选项 $D$：集合$\left\{ x\left| x>4 \right. \right\}$中存在无数个元素，所以不为空集.
  
故选$B.$
</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 2】</font>集合$A=\left\{ x\in \mathbb{N}\left| -4 < x-1 < 4 \right. \right.$，且$\left. x\ne 1 \right\}$的真子集的个数是$(\quad)$
  
$A$．$32\qquad$	$B$．$31\qquad$	$C$．$16\qquad$	$D$．$15$
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>由 $-4 < x-1 < 4$ 得 $-3 < x < 5$，且$x\ne 1$，

又 $x\in \mathbb{N}$，则 $A=\left\{ 0,2,3,4 \right\}$，
  
其子集个数共有${{2}^{4}}=16$，除去集合 $A$ 本身，
  
则其真子集个数为$16-1=15$，

故选：$D.$
</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 3】</font>若$\left\{1,2\right\}\subsetneqq M\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}$则集合 $M$ 的个数是$(\quad)$
  
$A$．$3\qquad$	$B$．$4\qquad$	$C$．$5\qquad$	$D$．$6$
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>因为$\left\{1,2\right\}$为 $M$ 的真子集，所以 $1\in M$，$2\in M$ 且 $M$ 中至少还有一个元素．
  
又$M\subseteq \left\{ 1,2,3,4 \right\}$，所以$M=\left\{ 1,2,3 \right\}$ 或 $\left\{ 1,2,4 \right\}$ 或 $\left\{ 1,2,3,4 \right\}$，故满足条件的集合 $M$ 有 $3$ 个．
  
故选：$A.$
</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 4】</font>已知集合$A=\left\{ x\left| 1 < x < 2 \right. \right\}$，$B=\left\{ x\left| 2a-3 < x < a-2 \right. \right\}$，下列说法错误的是$(\quad)$
  
$A$．不存在实数 $a$，使得 $A=B\qquad$	$B$．存在实数 $a$，使得 $A\subseteq B$
  
$C$．当 $a=4$ 时，$A\subseteq B\qquad\qquad$ 	$D$．当 $0\leqslant a\leqslant 4$ 时，$B\subseteq A$
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>对于 $A$：若 $A=B$，则$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   2a-3=1  \\
   a-2=2  \\
\end{array} \right.$，
  
此方程组无解，故不存在实数 $a$ 使得集合 $A=B$，故 $A$ 正确；
  
对于$B$：由 $A\subseteq B$，则$\begin{cases}   2a-3\leqslant 1  \\   a-2\geqslant 2  \end{cases} $，
  
即 $\begin{cases}   a\leqslant 2  \\   a\geqslant 4  \end{cases}$，此不等式组无解，不存在实数 $a$，使得 $A\subseteq B$，故 $B$ 错误；
  
对于 $C$：当 $a=4$ 时 $B=\varnothing $，不满足 $A\subseteq B$，故 $C$ 错误；
  
对于 $D$：当$2a-3\geqslant a-2$，即$a\geqslant 1$时，$B=\varnothing \subseteq A$，符合 $B\subseteq A$，
  
当 $a<1$ 时，要使 $B\subseteq A $，则$\begin{cases}   2a-3\geqslant 1  \\   a-2\leqslant 2  \end{cases} $，解得$2\leqslant a\leqslant 4$，不满足$a<1$，
  
综上，当且仅当$a\geqslant 1$时，$B\subseteq A.$
  
所以当 $0\leqslant a\leqslant 4$ 时 $B\subseteq A$ 不正确，故 $D$ 错误．

故选：$BCD.$
</div>

</div>
</div>

<h2>练习</h2> 
<span class="badge badge-success"><a href="https://zhaoyimo.com/math/papername.aspx?paperid=16&name=%E5%90%8C%E6%AD%A5%E7%BB%83%E4%B9%A0%E5%BF%85%E4%BF%AE%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%86%8C%E2%80%94%E2%80%941.1%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E5%90%AB%E4%B9%89%E5%8F%8A%E8%A1%A8%E7%A4%BA" target="_blank">同步练习必修第一册——1.1集合的含义及表示</a></span>

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