高中数学

第01讲集合的概念

相濡以沫 · 2025/5/24 12:29:15 · 211 · admin · 集合

## 集合的概念
(1)	元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母$a$、$b$、$c$表示.

(2)	集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母$A$、$B$、$C$表示.

(3)	集合中元素的特征：

<font color="red">确定性</font>：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦 确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.
  
  <font color="orange">互异性</font>：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.
  
  <font color="blue">无序性</font>：集合与其中元素的排列顺序无关，如$a$，$b$，$c$组成的集合与$b$，$c$，$a$组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.

(4) 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
<div class="note">
  <font color="red" size=4><i class="fa fa-bell text-primary"></i>注意：</font>
  
  集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法.
</div>

## 元素与集合的关系
如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 属于集合 $A$，记做$a\in A$；

如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 不属于集合 $A$，记做$a\notin A$.

<table>
        <tr>
            <th colspan="3" style="padding:12px;text-align:center;"> 熟记数学中一些常用的数集及其记法</th>
        </tr>
        <tr>
            <td  style="text-align:center;"><span class="badge badge-success">符号</span></td>
            <td style="text-align:center;"><span class="badge badge-success">名称</span></td>
            <td style="text-align:center;"><span class="badge badge-success">含义</span></td>
        </tr>
        <tr>
            <td style="text-align:center;">$\mathbb{N}$</td>
            <td>非负数集或自然数集</td>
            <td>全体非负整数组成的集合</td>
        </tr>
        <tr>
            <td style="text-align:center;">$\mathbb{N}^*$或$\mathbb{N}_+$</td>
            <td>正整数集</td>
            <td>所有正整数组成的集合</td>
        </tr>
        <tr>
            <td style="text-align:center;">$\mathbb{Z}$</td>
            <td>整数集</td>
            <td>全体整数组成的集合</td>
        </tr>
        <tr>
            <td style="text-align:center;">$\mathbb{Q}$</td>
            <td>有理数集</td>
            <td>全体有理数组成的集合</td>
        </tr>
        <tr>
            <td style="text-align:center;">$\mathbb{R}$</td>
            <td>实数集</td>
            <td>全体实数组成的集合</td>
        </tr>
    </table>

## 集合的分类与表示
### 集合的分类：
（1）按元素的数量分为有限集、无限集；

（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.
### 表示方法：
（1）自然语言描述法.

（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “$\{ \}$”括起来表示集合的方法叫做列举法。

（3）描述法：设 $A$ 是一个集合，我们把集合 $A$ 中所有具有共同特征 $P(x)$ 的元素 $x$ 所组成的集合表示为 $\{x\in A |P(x)\}$，这种表示集合的方法称为描述法．

<div class="math-box">
  <div class="math-title">
  <i class="fa fa-book mr-2"></i>  例题讲解
  </div>  
<div class="math-content">
<div class="example"> 
<font color="red">【例题 1】</font>下列各组对象能构成集合的是________________.
      
(1) 与定点 $A$，$B$ 等距离的点；
      
(2) 高中学生中的游泳能手；
      
(3) $1\sim 10$之间的所有奇数；
      
(4) 南京大学 $2027$ 级学生；
      
(5) 不等式 $3x-10 < 0$ 的所有正整数解；
                               
(6) 二次函数 $y=x^2-2x+10$ 的图象上所有点的纵坐标；
                               
(7) 平面内到 $\triangle ABC$ 三个顶点距离相等的所有点；
                               
(8) 方程 $x^2-2x+10=0$ 的所有实数根；
                               
(9) 数轴上所有的有理数点； 
                               
(10) 被 $5$ 除余 $3$ 的所有正整数.
</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 2】</font>若$-3\in \left\{ a-3,2a-1,{{a}^{2}}-1 \right\}$，则 $a$ 的值为（$\quad$）
  
$A$．$-1\qquad$	$B$．$0\qquad$	$C$．$1\qquad$	$D$．$2$
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>因为$-3\in \left\{ a-3,2a-1,{{a}^{2}}-1 \right\}$，
  
所以$a-3=-3$，或$2 a-1=-3$，或${{a}^{2}}-1=-3$，
  
当$a-3=-3$时，得$a=0$，此时集合为$\left\{ -3,-1,-1 \right\}$，不合题意，舍去，
  
当$2 a-1=-3$时，得$a=-1$，此时集合为$\left\{ -4,-3,0 \right\}$，
  
当${{a}^{2}}-1=-3$时，得${{a}^{2}}=-2$无解，
  
综上，$a=-1$.
  
故选：$A.$
</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 3】</font>用符号“$\in $”或“$\notin $”填空：

$0$ _____ $\mathbb{N}$；$-3$ _____ $\mathbb{N}$；$0.5$ _____ $\mathbb{Z}$；$\sqrt{2}$ _____ $\mathbb{Z}$；$\frac{1}{3}$ _____ $\mathbb{Q}$；$\pi $_____$ \mathbb{R}$.	
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>$0$是自然数，则$0\in \mathbb{N}$；
  
$-3$不是自然数，则$-3\notin \mathbb{N}$；
  
$0.5,\sqrt{2}$不是整数，则$0.5\notin \mathbb{Z},\sqrt{2}\notin \mathbb{Z}$；
  
$\frac{1}{3}$是有理数，则$\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$；
  
$\pi $是无理数，则$\pi \in \mathbb{R}$
</div>

<div class="example"> 
<font color="red">【例题 4】</font>用适当的方法表示下列集合： _________________.

(1) 小于 $10$ 的所有自然数组成的集合； 
(2) 方程$x^2=x$的所有实数根组成的集合； 
(3) 不等式$4x-5<3$的解集； 
(4) 一次函数$y=x+3$图像上的点组成的集合； 
(5) 一次函数$y=x+3$与$y=-2x+6$的交点组成的集合； 
(6) 二次函数$y=x^2-2x+10$的函数值组成的集合； 
(7) 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的自变量的取值组成的集合； 
(8) 方程$x^2-2x+10=0$的所有实数根； 
(9) 数轴上所有的有理数点； 
(10) 被 $5$ 除余 $3$ 的所有正整数； 
(11) 方程$\sqrt{x-2}+\left| y+2 \right|=0$的解集； 
(12) 平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合.
</div>
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>（1）$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 或者 $\{x\in\mathbb{N}|x<10\}$；
                                                                                         
（2）$\{0,1\}$ 或者 $\{x\in\mathbb{R}|x^2=x\}$；
                                                                                         
（3）$\{x|4x-5<3\}$ 或者 $\{x|x<2\}$；
                                   
（4）$\left\{(x,y)\left|y=x+3\right.\right\}$；
                                  
（5）$\{(1,4)\}$ 或者 $\left\{(x,y)\left|\begin{cases}y=x+3\\y=-2x+6\end{cases}\right.\right\}$；

（6）$\left\{y\left|y\geqslant9\right.\right\}$ 或者 $\left\{y\left|y=x^2-2x+10\right.\right\}$；
  
（7）$\left\{x\in\mathbb{R}\left|x\neq0\right.\right\}$ 或者 $\left\{x\left|y=\frac{2}{x}\right.\right\}$；

（8）$\varnothing$ 或者 $\{x|x^2-2x+10=0\}$；
                                  
（9）$\mathbb{Q}$；
                                  
（10）$\{x|x=5k+3,k\in\mathbb{N}\}$；
                                  
（11）$\{(2,-2)\}$ 或者 $\left\{(x,y)\left|\sqrt{x-2}+\left| y+2 \right|=0\right.\right\}$；
                                  
（12）$\left\{(x,y)\left|\begin{cases}x>0\\y>0\end{cases}\right.\right\}$；
</div>  
<div class="example">
<font color="red">【例题 5】</font>设$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$，$y=3-\sqrt{2}$，若集合$M=\left\{ m|m=a+b\sqrt{2},a\in \mathbb{Q},b\in \mathbb{Q} \right\}$，则$x$，$y$与集合$M$的关系是（$\quad$）
  
$A$．$x\in M$，$y\in M\qquad$	$B$．$x\in M$，$y\notin M\qquad$ $C$．$x\notin M$，$y\in M\qquad$	$D$．$x\notin M$，$y\notin M$
<div class="answer">
<font color="blue">【答案】</font>$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}$，$y=3-\sqrt{2}$，

对比集合$M$中元素的系数可得$x\in M$，$y\in M$，

故选：$A.$
</div>
</div>
</div>
</div>

<h2>练习</h2> 
<span class="badge badge-success"><a href="https://zhaoyimo.com/math/papername.aspx?paperid=16&name=%E5%90%8C%E6%AD%A5%E7%BB%83%E4%B9%A0%E5%BF%85%E4%BF%AE%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%86%8C%E2%80%94%E2%80%941.1%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E5%90%AB%E4%B9%89%E5%8F%8A%E8%A1%A8%E7%A4%BA" target="_blank">同步练习必修第一册——1.1集合的含义及表示</a></span>

第01讲集合的概念

文章栏目

相关文章

推荐文章

第01讲 集合的概念

文章栏目

相关文章

推荐文章

第01讲集合的概念