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函数的对称性问题
相濡以沫 ·
2025/5/22 21:34:12
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admin
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对称性
## (一)自对称(一个函数的对称性) ### (1)轴对称转化: 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ,由轴对称的性质可知,到对称轴距离相等的两个自变量所对应的函数值相等,所以函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 的对称充要条件是函数 $y=f(x+a)$ 为偶函数$\Leftrightarrow f(a+x)=f(a-x)$. 推论一:$f(x)=f(2 a-x) \Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称. 推论二:$f(x+a)=f(b-x) \Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称. 看到等式 $f(x+a)=f(b-x)$(该等式的特征:两个表达式写在等号两边时,前面的符号相同,且括号内的代数式之和为常数,这个常数的值恰为对称轴横坐标的两倍)时,我们也要转化为函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称. ### (2)中心对称转化: 由中心对称的性质可知,到对称中心距离相等的两个自变量所对应的函数值之和为对称中心纵坐标的 $2$ 倍,所以函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 中心对称充要条件是函数 $F(x)=f(x+a)-b$ 为奇函数 $\Leftrightarrow f(a+x)+f(a-x)=2 b$ . 推论一:$f(x)+f(2 a-x)=2 b \Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 中心对称. 推论二:$f(x+a)+f(b-x)=2 c \Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{a+b}{2}, c\right)$ 中心对称. 在看到等式 $f(x+a)+f(b-x)=2 c$(该等式的特征:两个表达式写在等号同一边时前面的符号相同,且括号内的代数式之和为常数,这个常数的值恰为对称中心横坐标的两倍)时,我们也要转化为函数 $f(x)$ 的图象关于点$\left(\frac{a+b}{2}, c\right)$中心对称. ### (3)奇偶性的相关结论: (1)函数 $f(k x+a)$ 为偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称 $\Leftrightarrow$ 函数 $f(x+a)$ 为偶函数. (2)函数 $f(k x+a)$ 为奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 的图象关于点 $(a, 0)$ 对称 $\Leftrightarrow$ 函数 $f(x+a)$ 为奇函数. ### (4)三次函数图象的对称性 对于一个三次函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a \neq 0)$ 来说,点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是函数 $f(x)$ 图象的对称中心,其中 $x_{0}=-\frac{b}{3 a}$ . ## (二)他对称(即两个函数对称性)的常用结论: (1)函数 $y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{b-a}{2}$ 对称; (2)函数 $y=f(x)$ 与 $y=f(2 a-x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称; (3)函数 $y=f(x)$ 与 $y=2 b-f(x)$ 的图象关于直线 $y=b$ 对称. ## 例题讲解 <font color="red">【例题 1】</font> (多选)已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$,$f(x+2)$ 为奇函数,$f(2 x+1)$ 为偶函数,则 $(\quad)$ $A$.$f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称 $B$.$f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称 $C$.$f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称 $D$.$f(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称 <details> <summary><font color="#1677ff">点击查看分析</font></summary> 由$f(x+2)$ 为奇函数,可知$f(x)$关于$(2,0)$对称, 由$f(2 x+1)$ 为偶函数可得:$f(-2x+1)=f(2x+1)$,即$f(-x+1)=f(x+1)$, $\therefore f(x)$关于$x=1$对称,故选$AD$. </details> <font color="red">【例题 2】</font>已知函数 $f(x+2)$ 是偶函数,$f(x)$ 在 $(-\infty, 2]$ 上单调递增,则不等式 $f(3 x+2)<f(x+1)$ 的解集为 $(\quad)$ $A$.$\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right) \cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ $B$.$\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ $C$.$\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$ $D$.$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ <details> <summary><font color="#1677ff">点击查看分析</font></summary> 由题意函数 $f(x+2)$ 是偶函数,所以 $f(x)$ 的对称轴是 $x=2$ , 因为 $f(x)$ 在 $(-\infty, 2]$ 上单调递增,所以在 $[2,+\infty)$ 上单调递减, 由 $f(3 x+2)<f(x+1)$ ,有 $|3 x+2-2|>|x+1-2|$ ,即 $8 x^{2}+2 x-1>0$ , 解得 $x<-\frac{1}{2}$ 或 $x>\frac{1}{4}$ ,所以不等式的解集为 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$ . 故选:$C$. </details> <font color="red">【例题 3】</font>已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}, f(1)=1, f(3 x+1)$ 为偶函数,且函数 $y=\frac{1}{2} f(2 x)$ 的图象关于点 $(1,1)$ 对称,则 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=$______________. <details> <summary><font color="#1677ff">点击查看分析</font></summary> 因 $f(3 x+1)$ 为偶函数,则 $f(-3 x+1)=f(3 x+1)$ ,则 $f(x)$ 图象关于 $x=1$ 对称; 因 $y=\frac{1}{2} f(2 x)$ 的图象关于点 $(1,1)$ 对称,则 $\frac{1}{2} f[2(1+x)]+\frac{1}{2} f[2(1-x)]=2$ , $\therefore f(2+2 x)+f(2-2 x)=4$ ,得 $f(x)$ 图象关于 $(2,2)$ 对称; 则 $f(-t+1)=f(t+1), f(2+t)+f(2-t)=4$ $\Rightarrow f(-t+1)+f(t+3)=4 \Rightarrow f(t+1)+f(t+3)=4$. 则 $f(t+3)+f(t+5)=4 \Rightarrow f(1+t)=4-f(t+3)=f(t+5)$ ,则 $f(x)$ 的一个周期为 4 . 则 $\sum_{k=1}^{2025} f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)$ . 又 $f(t+1)+f(t+3)=4$ ,令 $t=0,1$ ,可得 $f(1)+f(3)=f(2)+f(4)=4 .$ <font color="red">注意</font> (1) 若 $f(m x+t)$ 为偶函数,则 $f(x)$ 图象关于 $x=t$ 对称 $((m \neq 0))$ ; (2) $\frac{1}{n} f(m x)$ 关于 $(a, b)$ 对称,则 $f(x)$ 图象关于 $(m a, n b)$ 对称 $(m, n \neq 0)$ ; (2) $f(x)$ 图象关于 $x=a,(b, c)$ 对称,则 $f(x)$ 的一个周期为 $4|a-b|$ . </details> <font color="red">【例题 4】</font>若函数 $f(x)$ 满足 $f(a-x)+f(a+x)=2 b$ 对任意 $x$ 都成立,则 $y=f(x)$ 的图象关于点 $P(a, b)$ 成中心对称图形,据此,可得函数 $f(x)=-x^{3}+3 x^{2}$ 图象的对称中心为 ________________. <details> <summary><font color="#1677ff">点击查看分析</font></summary> $f(a-x)+f(a+x)=-(a-x)^{3}+3(a-x)^{2}-(a+x)^{3}+3(a+x)^{2}$ $=-a^{3}+3 a^{2} x-3 a x^{2}+x^{3}+3 a^{2}-6 a x+3 x^{2}-a^{3}-3 a^{2} x-3 a x^{2}-x^{3}+3 a^{2}+6 a x+3 x^{2}$ $=-2 a^{3}-6 a x^{2}+6 a^{2}+6 x^{2}$ , 令 $a=1$ 得 $f(1-x)+f(1+x)=4$ , 故 $f(x)=-x^{3}+3 x^{2}$ 图象的对称中心为 $(1,2)$ . 故答案为:$(1,2)$. </details> <font color="red">【例题 5】</font>已知函数 $f(x)(x \in \mathbb{R})$ 满足 $f(-x)=2-f(x)$ ,若函数 $y=\frac{x+1}{x}$ 与 $y=f(x)$ 图象的 $m$ 个交点为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{m}, y_{m}\right)$ ,则 $\left(x_{1}+y_{1}\right)+\left(x_{2}+y_{2}\right)+\cdots+\left(x_{m}+y_{m}\right)$ 的值是________________ . <details> <summary><font color="#1677ff">点击查看分析</font></summary> 由条件 $f(-x)=2-f(x)$ 得,$f(-x)+f(x)=2$ ,所以 $y=f(x)$ 关于点 $(0,1)$ 对称, $y=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ 关于点 $(0,1)$ 对称,所以函数 $y=\frac{x+1}{x}$ 与 $y=f(x)$ 图象的 $m$ 个交点有 $\frac{m}{2}$ 对关于点 $(0,1)$ 对称, 所以 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{m}=0,y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{m}=\frac{m}{2} \times 2=m$ , 所以 $\left(x_{1}+y_{1}\right)+\left(x_{2}+y_{2}\right)+\cdots+\left(x_{m}+y_{m}\right)=m$ . 故答案为:$m$ </details> *** <center><font color="#E211E6">【牛刀小试】</font></center> <font color="#E211E6">【练习 1】</font>已知函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且对任意 $x \in \mathbb{R}$ 满足 $f(x)=f(2-x)$ ,则不等式 $f(2 x-3)>f(x)$ 的解集是 $(\quad)$ $A$.$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right) \cup(3,+\infty)$ $B$.$\left(\frac{5}{3}, 3\right)$ $C$.$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right)$ $D$.$(3,+\infty)$ <details> <summary><font color="#1677ff">点击查看分析</font></summary> 因为对任意 $x \in \mathbb{R}$ 满足 $f(x)=f(2-x)$ ,所以 $f(x)$ 的对称轴为直线 $x=1$ , 又函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减,所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上单调递增, 所以 $f(2 x-3)>f(x) \Leftrightarrow(2 x-3-1)^{2}<(x-1)^{2}$ ,解得 $x \in\left(\frac{5}{3}, 3\right)$ , 故选:$B$. </details> <font color="#E211E6">【练习 2】</font>已知函数 $y=f(x+1)-3$ 为奇函数,$g(x)=\frac{3 x-2}{x-1}, f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像有 $8$ 个交点,分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \cdots\left(x_{8}, y_{8}\right)$ ,则 $\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{8}\right)-\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}\right)=$________________. <details> <summary><font color="#1677ff">点击查看分析</font></summary> $\because y=f(x+1)-3$ 为奇函数, $\therefore$ 函数 $f(x)$ 关于点 $(1,3)$ 对称, $\because g(x)=\frac{3 x-2}{x-1}=\frac{3(x-1)+1}{x-1}=3+\frac{1}{x-1}$, $\therefore$ 函数 $g(x)$ 关于点 $(1,3)$ 对称, $\therefore f(x)$ 与 $g(x)$ 图象的 $8$ 个交点关于点 $(1,3)$ 对称, $\therefore \frac{x_{1}+x_{8}}{2}=1, \frac{x_{2}+x_{7}}{2}=1, \frac{x_{3}+x_{6}}{2}=1, \frac{x_{4}+x_{5}}{2}=1$ , 可得 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}=4 \times 2 \times 1=8$ , 同理可知 $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7}+y_{8}=4 \times 2 \times 3=24$ , 则 $\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{8}\right)-\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}\right)=24-8=16$ . 故答案为: $16$ . </details>
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