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不等式的性质研究
相濡以沫 ·
2025/5/22 15:34:20
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admin
这是一个模板供参考。 > 这是2023年高考数学文科的压轴题，他主要考查了导数，极值点，最值等问题，值得研究。 ## 试题题目 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_3=620, S_{n+1}=5 S_n+20$. (1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式; (2) 若 $b_n=\log _5 \frac{a_n}{4}$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求 $\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+\cdots++\frac{1}{T_n} .$ ## 试题解析 (1) 因为 $S_{n+1}=5 S_n+20$, 所以 $S_3=5 S_2+20, S_2=5 S_1+20$, 代入 $S_3=620$, 得 $S_2=120, S_1=20$, 因为 $S_{n+1}=5 S_n+20$, 所以 $S_{n+1}+5=5\left(S_n+5\right), S_1+5=25$, 所以数列 $\left\{S_n+5\right\}$ 是以 25 为首项, 5 为公比的等比数列, 所以 $S_n+5=5^{n+1}, S_n=5^{n+1}-5(1)$, 当 $n \geqslant 2$ 时, $S_{n-1}=5^n-5$ (2), 由(1)-(2) 得 $a_n=4 \times 5^n$, 当 $n=1$ 时, $a_1=20$ 成立, 所以 $a_n=4 \times 5^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$. ## 一点感想 现在的高考数学，对学生要求越来越高，特别是计算能力，不但要会，而且还要能计算正确。在圆锥曲线里，计算量都会越来越大。
