奔驰定理与三角形的四心

平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的$\text{logo}$非常相似，该结论如下：如图，已知$O$是$\triangle ABC$内部一点，将$\triangle BOC$、$\triangle AOC$、$\triangle AOB$的面积分别记为${S}_{A}$、${S}_{B}$、${S}_{C}$，则${S}_{A}\cdot \overrightarrow{OA}+{{S}_{B}}\cdot \overrightarrow{OB}+{S}_{C}\cdot \overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$．

证明如下：

$ \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\dfrac{B D}{B C} \overrightarrow{B C}=\dfrac{D C}{B C} \overrightarrow{A B}+\dfrac{B D}{B C} \overrightarrow{A C}$

$\overrightarrow{A O}=\dfrac{A O}{A D} \overrightarrow{A D}=\dfrac{A O}{A D}\left(\dfrac{D C}{B C} \overrightarrow{A B}+\dfrac{B D}{B C} \overrightarrow{A C}\right) $

$=\dfrac{S_{\triangle O C A}}{S_{\triangle D C A}} \times \dfrac{S_{\triangle D C A}}{S_{\triangle B C A}}(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})+\dfrac{S_{\triangle O B A}}{S_{\triangle D B A}} \times \dfrac{S_{\triangle D B A}}{S_{\triangle C B A}}(\overrightarrow{O C} -\overrightarrow{O A})$

化简整理得：$S_{\triangle O B C} \overrightarrow{O A}+S_{\triangle O C A} \overrightarrow{O B}+S_{\triangle O A B} \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{0} .$

若$O$分别为$\triangle ABC$的重心、内心、外心、垂心，则它分$\triangle ABC$所得的三部分的面积之比有着非常友好的结论：

若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心， 则 $S_A:S_B:S_C=1: 1 : 1$；

若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的内心， 则 $S_A:S_B:S_C=a: b : c$；

若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心， 则 $S_A:S_B:S_C=\sin 2 A : \sin 2 B: \sin 2 C$；

证明过程

如图可得：

$\begin{aligned}S_A:S_B:S_C&=\dfrac{1}{2}r^2\sin\angle BOC:\dfrac{1}{2}r^2\sin\angle AOC:\dfrac{1}{2}r^2\sin \angle AOB\\ &=\dfrac{1}{2}r^2\sin 2A:\dfrac{1}{2}r^2\sin 2B:\dfrac{1}{2}r^2\sin 2C\\ &=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C .\end{aligned}$

其中$r$为$\triangle A B C$的外接圆半径。

若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心， 则 $S_A:S_B:S_C=\tan A : \tan B: \tan C$．

证明过程

如图可得：

$\begin{aligned} S_A:S_B &=\dfrac{1}{2}\cdot |OC|\cdot|BF|:\dfrac{1}{2}\cdot |OC|\cdot|AF|\\ &=|BF|:|AF|=\dfrac{|CF|}{\tan B}:\dfrac{|CF|}{\tan A}\\ &=\tan A:\tan B\end{aligned}$

同理可得：$S_B:S_C=\tan B:\tan C$

$\therefore S_A:S_B:S_C=\tan A : \tan B: \tan C$。

结合奔驰定理我们可以得到“四心”的向量统一形式：

设 $O$ 为 $\triangle A B C$ 内一点， 且 $p \overrightarrow{O A}+q \overrightarrow{O B}+r \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{0}$， $ a， b， c$ 分别为内角 $A， B， C$ 所对的边。

$(1)$ 若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心， 则 $p: q: r=1: 1 : 1$；

$(2)$ 若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的内心， 则 $p: q: r=a: b : c$；

$(3)$ 若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心， 则 $p: q: r=\sin 2 A : \sin 2 B: \sin 2 C$；

$(4)$ 若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心， 则 $p: q: r=\tan A : \tan B: \tan C$．