排列组合题型 特殊优先原则

【法一】在这个问题中甲和乙都有特殊要求，那么我们就可以优先处理甲、乙元素，可以分为两类：

$\textcircled{1}$ 甲和乙都入选，则甲只能当副班长，乙只能当班长，只有1种选派方案；

$\textcircled{2}$ 甲入选，乙没有入选，此时，甲只能担任副班长，则只需从余下的3人中选择1人担任班长即可，有$A_{3}^{1}=3$种选派方案；

$\textcircled{3}$ 甲没有入选，乙入选，此时，乙只能担任班长，则只需从余下的3人中选择1人担任副班长即可，有$A_{3}^{1}=3$种选派方案；

$\textcircled{4}$ 甲和乙都没有入选，则只需从余下的3人中选择2人担任班长和副班长即可，有$A_{3}^{2}=3\times 2=6$种选派方案；

综上所述：共有$1+3+3+6=13$种选派方案．

【法二】另外，我们还可以考虑“班长”这个特殊位置，由于甲不能担任班长，而乙不能担任副班长，所以我们可以先考虑乙，分两类：

$\textcircled{1}$ 若乙担任班长，则只需从余下的4人中选择1人担任副班长即可，有$A_{4}^{1}=4$种选派方案；

$\textcircled{2}$ 若乙不担任班长，由于甲不能担任班长，可以分两步：先选班长，再选副班长，有$A_{3}^{1}\cdot A_{3}^{1}=3\times3=9$种选派方案．

综上所述：共有$4+9=13$种选派方案．

同时，你也可以按照“甲担任副班长”和“甲不担任副班长”来分类．

【法三】此外，我们还可以采用间接法：

$\textcircled{1}$ 若没有任何限制条件，有$A_{5}^{2}=5\times 4=20$种选派方案；

$\textcircled{2}$ 甲担任班长，有$A_{4}^{1}= 4$种选派方案；

$\textcircled{3}$ 乙担任副班长，有$A_{4}^{1}= 4$种选派方案；

综上所述：共有$A_{5}^{2}-A_{4}^{1}-A_{4}^{1}+1=13$种选派方案．

注意：为什么要$+1$呢？