相濡以沫1．平面截圆锥
本站前面有一篇文章：《2024年杭州二模14题与圆锥截口曲线》，介绍了圆锥截口曲线为椭圆的情形，最近遇到了很多这样的题目，因此本文再系统介绍一下圆锥截口曲线的问题．
如图所示，在这里假设圆锥的轴和母线的夹角为$\alpha$，轴和截面的夹角为$\beta$，那么圆锥的截口曲线有如下结论：
若$\beta=\dfrac{\pi}{2}$，则截口曲线为圆；
若$\alpha<\beta<\dfrac{\pi}{2}$，则截口曲线为椭圆；
若$\beta=\alpha$，则截口曲线为抛物线；
若$0 \leqslant\beta<\alpha$，则截口曲线为双曲线；
并且截面与内切球的切点为圆锥曲线的焦点（或圆心），圆锥曲线的离心率为$e=\dfrac{\cos\beta}{\cos \alpha}$．
2．椭圆
在《2024年杭州二模14题与圆锥截口曲线》中已经对截面是椭圆的情形证明过，在此不再赘述，只证明离心率的结论．
如图所示：$$2a=A_1F_1+A_1F_2=A_1Q+A_1P=PQ=O_1O_2\cos\alpha,$$
$$2c=F_1F_2=O_1O_2\cos\beta,$$
$\therefore e=\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{\cos\beta}{\cos \alpha}$．
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