2024年杭州二模14题与圆锥截口曲线

如图，用一个不平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的截口曲线是一个椭圆，那么，为什么截口曲线是一个椭圆呢？历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中数学家 Germinal Dandelin 的方法非常巧妙.

在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切。两个球分别与截面相切于点 $E, F$，在戴口曲线上任取一点 $A$，过点 $A$ 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点 $C, B$. 由球和圆的几何性质，可以知道
$$A E=A C, A F=A B ,$$于是$$A E+A F=A B+A C=B C .$$

由切点 $B, C$ 的产生方法可知，它们之间的距离 $B C$ 是定值. 这样，截口曲线上任意一点 $A$ 到两个定点 $E, F$ 的距离之和为常数.

由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆.

Germinal Dandelin 的工作非常巧妙， 极具创造性. 看完他的工作后，你有这方面的体会吗?

例如，用一个与圆柱斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线. 你能仿照上述方法，证明截口曲线也是椭圆吗?

杭州二模14题：机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 $12 \mathrm{~cm}$，开口直径为 $8 \mathrm{~cm}$. 旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于____________.

解答思路

如图所示，易得$\cos A=\dfrac{7}{9}$，可用余弦定理求得$BC=2\sqrt{17}$，

假设过球$O$的球心的截面与$\triangle ABC$相切与点$D$、$E$、$F$三点，设$BF=x$，则$BD=x$，$AD=AE=6-x$，$CE=CF=6+x$，

故$x+6+x=2\sqrt{17}$，$x=\sqrt {17}-3=a-c$，可得：$c=3$，因此椭圆的离心率等于$\dfrac{3}{\sqrt{17}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{17}.$